2009-2010学年数学寒假作业06：三角与向量（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

计算的值是     ．

2. 难度：中等

函数f（x）=x+cosx的大致图象是    ．

3. 难度：中等

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），其导函数f′（x）的部分图象如图所示，则函数f（x）的图象按向量平移后对应的解析式为    ．

4. 难度：中等

设函数f（x）=sin（ωx+）-1（ω＞0）的导数f′（x）的最大值为2，则f（x）的图象的一个对称中心的坐标是    ．

5. 难度：中等

已知函数y=Asin（ωx+φ）+n的最大值为4，最小值是0，最小正周期是，直线x=是其图象的一条对称轴，若A＞0，ω＞0，0＜φ＜，则函数解析式为     ．

6. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数，若f（x）的最小正周期是π，且当x∈[0，]时，f（x）=sinx，则f（）的值为     ．

7. 难度：中等

已知函数f（x）=cosxsinx（x∈R），给出下列四个命题：其中真命题是     ．
①若f（x₁）=-f（x₂），则x₁=-x₂；
②f（x）的最小正周期是2π；
③在区间[-，]上是增函数；
④f（x）的图象关于直线x=对称．

8. 难度：中等

已知向量与夹角为120°，且，则等于    ．

9. 难度：中等

已知向量、满足||=1，||=4，且•=2，则与的夹角为    ．

10. 难度：中等

已知向量=（，1），是不平行于x轴的单位向量，且，则b=    ．

二、解答题

11. 难度：中等

已知向量，设f（x）=a•b．
（Ⅰ）求函数f（x）在[0，2π]上的零点；
（Ⅱ）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，b=2，sinA=2sinC，求边c的值．

12. 难度：中等

已知复数z₁=bcosC+（a+c）i，z₂=（2a-c）cosB+4i，且z₁=z₂，其中A、B、C为△ABC的内角，a、b、c为角A、B、C所对的边．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若，求△ABC的面积．

13. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调递增区间；．
（Ⅱ）当a＜0时，若x∈[0，π]，函数f（x）的值域是[3，4]，求实数a，b的值．