2009-2010学年数学寒假作业（12）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知集合A={x|0≤x＜4}，B={x||x-1|≤2}，则A∩B=    ．

2. 难度：中等

已知复数z满足（1+3i）z=10，则|z|=    ．

3. 难度：中等

命题“存在x∈Z，使3x²+x+m≤0”的否定是     ．

4. 难度：中等

如图是一个算法的程序框图，当输入的x的值为5时，其输出的结果是    ．

5. 难度：中等

设A是满足不等式组的区域，B是满足不等式组的区域；区域A内的点P的坐标为（x，y），当x，y∈R时，则P∈B的概率为    ．

6. 难度：中等

一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为    ．

7. 难度：中等

某班学生在一次数学考试中成绩分布如下表：

那么分数不满110的累积频率是     ．（精确到0.01）

8. 难度：中等

点P（x，y）在直线x+y-4=0上，则x²+y²的最小值是    ．

9. 难度：中等

设[x]表示不超过x的最大整数，则不等式[x]²-5[x]+6≤0解集为     ．

10. 难度：中等

已知数列{a_n}对于任意p，q∈N^*，有a_p+a_q=a_p+q，若，则a₁₀₀=    ．

11. 难度：中等

已知，则=    ．

12. 难度：中等

已知函数y=log_a^（x-1）+1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在一次函数y=mx+n的图象上，其中
最小值为    ．

13. 难度：中等

已知点O在△ABC内部，且有，则△OAB与△OBC的面积之比为    ．

14. 难度：中等

已知过点的直线l与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，则距离AB最小值为    ．

二、解答题

15. 难度：中等

已知．
（Ⅰ）求tanα的值；
（Ⅱ）求的值．

16. 难度：中等

多面体ABCDE中，AB=BC=AC=AE=1，CD=2，AE⊥面ABC，AE∥CD．
（1）求证：AE∥面BCD；
（2）求证：面BED⊥面BCD．

17. 难度：中等

如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，已知AB=3米，AD=2米．
（1）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？
（2）当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求最小面积；
（3）若AN的长度不少于6米，则当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积．

18. 难度：中等

已知圆C：（x-3）²+（y-4）²=4，直线l₁过定点A（1，0）．
（Ⅰ）若l₁与圆相切，求l₁的方程；
（Ⅱ）若l₁与圆相交于P，Q两点，线段PQ的中点为M，又l₁与l₂：x+2y+2=0的交点为N，求证：AM•AN为定值．

19. 难度：中等

已知直线l：X-y+1=0，⊙O：x²+y²=2上的任意一点P到直线l的距离为d．当d取得最大时对应P的坐标（m，n），设g（x）=mx+-2lnx．
（1）求证：当x≥1，g（x）≥0恒成立；
（2）讨论关于x的方程：根的个数．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}和{b_n}满足：a₁=λ，，其中λ为实数，n为正整数，若数列{a_n}前三项成等差数列，求λ的值．