2011-2012学年福建省泉州市季延中学高三第二次联考试卷数学（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合P={3，log₂a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，则P∪Q=（ ）
A．{3，0}
B．{3，0，1}
C．{3，0，2}
D．{3，0，1，2}

2. 难度：中等

命题p：∀x∈R，函数，则（ ）
A．p是假命题；￢p：∃x∈R，
B．p是假命题；￢p：∃x∈R，
C．p是真命题；￢p：∃x∈R，
D．p是真命题；￢p：∃x∈R，

3. 难度：中等

下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分而不必要条件的有（ ）
①若x∈E或x∈F，则x∈E∪F；
②若关于x的不等式ax²-2ax+a+3＞0的解集为R，则a＞0；
③若是有理数，则x是无理数．
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

4. 难度：中等

双曲线2x²-y²=8的实轴长是（ ）
A．2
B．
C．4
D．

5. 难度：中等

定义：，其中θ为向量与的夹角，若，，，则等于（ ）
A．-8
B．8
C．-8或8
D．6

6. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a₁=1，且，且n∈N^*），则数列{a_n}的通项公式为（ ）
A．a_n=
B．a_n=
C．a_n=n+2
D．a_n=（n+2）3ⁿ

7. 难度：中等

设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A．3πa²
B．6πa²
C．12πa²
D．24πa²

8. 难度：中等

圆心在曲线上，且与直线3x+4y+3=0相切的面积最小的圆的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

满足，它的前n项和为S_n，则满足S_n＞1025的最小n值是（ ）
A．9
B．10
C．11
D．12

10. 难度：中等

已知椭圆C₁：=1 （a＞b＞0）与双曲线C₂：x²-=1 有公共的焦点，C₂的一条渐近线与以C₁的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C₁恰好将线段AB三等分，则（ ）
A．a²=
B．a²=3
C．^_b2=
D．^_b2=2

二、填空题

11. 难度：中等

计算=    ．

12. 难度：中等

若变量x，y满足约束条件则z=x+2y的最小值为    ．

13. 难度：中等

四棱锥P-ABCD的顶点P在底面ABCD上的投影恰好是A，其正视图与侧视图都是腰长为a的等腰直角三角形．则在四棱锥P-ABCD的任意两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线共有    对．

14. 难度：中等

已知直线ax+by+c=0与圆：x²+y²=1相交于A、B两点，且，则=    ．

15. 难度：中等

设f（x）=asin2x+bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0．若对一切x∈R恒成立，则
①；
②；
③f（x）既不是奇函数也不是偶函数；
④f（x）的单调递增区间是；
⑤存在经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象不相交．
以上结论正确的是    （写出所有正确结论的编号）．

三、解答题

16. 难度：中等

如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．
（1）求渔船甲的速度；
（2）求sinα的值．

17. 难度：中等

设，其中a为正实数．
（1）当时，求f（x）的极值点；
（2）若f（x）为上的单调函数，求a的取值范围．

18. 难度：中等

如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=a，点E是SD上的点，且DE=λa（0＜λ≤1）．
（1）求证：对任意的λ∈（0，1]，都有AC⊥BE；
（2）若二面角C-AE-D的大小为60°，求λ的值．

19. 难度：中等

已知椭圆C的方程为：，其焦点在x轴上，离心率．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）设动点P（x，y）满足，其中M，N是椭圆C上的点，直线OM与ON的斜率之积为，求证：为定值．
（3）在（2）的条件下，问：是否存在两个定点A，B，使得|PA|+|PB|为定值？若存在，给出证明；若不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f（x）与时刻x（时）的关系为f（x）=+2a+，x∈R，其中a是与气象有关的参数，且a∈]，若取每天f（x）的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M（a）．
（1）令t=，x∈R，求t的取值范围；
（2）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问：目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？

21. 难度：中等

已知数列{a_n}满足，数列{b_n}满足b_n=lna_n，数列{c_n}满足c_n=a_n+b_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）试比较与的大小，并说明理由；
（3）我们知道数列{a_n}如果是等差数列，则公差是一个常数，显然在本题的数列{c_n}中，不是一个常数，但是否会小于等于一个常数k呢？若会，求出k的取值范围；若不会，请说明理由．