2011年陕西省西安市西工大附中高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

在复平面内，复数对应的点的坐标为（ ）
A．（，）
B．（1，-1）
C．（-2，2）
D．（1，1）

2. 难度：中等

有四个关于三角函数的命题：p₁：sin15°+cos15°＞sin16°+cos16°；p₂：若一个三角形两内角α、β满足sinα•cosβ＜0，则此三角形为钝角三角形； p₃：对任意的x∈[0，π]，都有=sinx；p₄：要得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位．其中为假命题的是（ ）
A．p₁，p₄
B．p₂，p₄
C．p₁，p₃
D．p₂，p₄

3. 难度：中等

，P={x|（x-b）²＜a}．若“a=1”是“M∩P≠Ф”的充分条件，则b的取值范围是（ ）
A．-2≤b＜0
B．0＜b≤2
C．-3＜b＜-1
D．-2＜b＜2

4. 难度：中等

平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+2|=（ ）
A．
B．
C．4
D．12

5. 难度：中等

一个容量为20的样本数据，分组情况及各组的频数如下：（10，20]，2；（20，30]，3；（30，40]，4；（40，50]，5；（50，60]，4；（60，70]，2，则样本数据在（-∞，30]上的频率为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

按如图的流程，可打印出一个数列，设这个数列为{x_n}，则x₄=（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，若PA⊥平面ABCD，且左视图投影平面与平面PAB平行，则下列选项中可能是四棱锥P-ABCD左视图的是（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知直线mx-y+1=0交抛物线y=x²于A、B两点，则△AOB（ ）
A．为直角三角形
B．为锐角三角形
C．为钝角三角形
D．前三种形状都有可能

9. 难度：中等

设圆C：x²+y²=3，直线l：x+3y-6=0，点P（x，y）∈l，存在点Q∈C，使∠OPQ=60°（O为坐标原点），则x的取值范围是（ ）
A．
B．[0，1]
C．
D．

10. 难度：中等

设F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，P是其右准线上纵坐标为（c为半焦距）的点，且|F₁F₂|=|F₂P|，则椭圆的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

在（1+x）+（1+x）²+…+（1+x）⁶的展开式中，x²项的系数是    ．（用数字作答）

12. 难度：中等

设x，y满足约束条件，若目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为8，则a+b的最小值为    ．

13. 难度：中等

先后抛掷两枚均匀的骰子，骰子朝上的点数分别为m，n，则满足log_2mn=1的概率是    ．

14. 难度：中等

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA₁=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于     ．

15. 难度：中等

（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）
A．（不等式选做题）不等式的解集是    ．
B．（几何证明选做题） 如图，以AB=4为直径的圆与△ABC的两边分别交于E，F两点，∠ACB=60°，则EF=    ．
C．（坐标系与参数方程选做题） 在极坐标中，已知点P为方程ρ（cosθ+sinθ）=1所表示的曲线上一动点，Q（2，），则|PQ|的最小值为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的值域．

17. 难度：中等

袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．
（1）求得分X的概率分布列；
（2）求得分大于6分的概率．

18. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．
（1）求证：平面AEC⊥平面PDB；
（2）当且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．

19. 难度：中等

数列{a_n}的首项为，以a₁，a₂，a₃，…，a_n-1，a_n为系数的二次方程a_n-1x²-a_nx+1=0（n≥2，且n∈N₊）都有根α、β，且α、β满足3α-αβ+3β=1．
（1）求证：是等比数列；           
（2）求{a_n}的通项公式；
（3）记S_n为{a_n}的前n项和，对一切n∈N₊，不等式2S_n-n-2λ≥0恒成立，求λ的取值范围．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=ln（3-x）+ax+1．
（1）若函数f（x）在[0，2]上是单调递增函数，求实数a的取值范围；
（2）求函数f（x）在[0，2]上的最大值．

21. 难度：中等

已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的右准线与一条渐近线交于点M，F是右焦点，若|MF|=1，且双曲线C的离心率．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过点A（0，1）的直线l与双曲线C的右支交于不同两点P、Q，且P在A、Q之间，若且，求直线l斜率k的取值范围．