2007年江苏省苏州市木渎高级中学高考数学模拟试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集为U，集合P⊆U，M⊆U，则P=M是∁_UP=∁_UM的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

2. 难度：中等

函数与其反函数的图象的交点坐标不能为（ ）
A．（-1，1）
B．（1，-1）
C．（1，1）
D．

3. 难度：中等

已知双曲线x²+ay²=1的虚轴长是实轴长的2倍，则a=（ ）
A．
B．4
C．-4
D．-

4. 难度：中等

图象经过平移后不能同时经过两点A（1，0）、B（-1，2）的一个函数为（ ）
A．y=2
B．
C．
D．y=x²

5. 难度：中等

已知实数x、y满足x²+y²≤2，则必有（ ）
A．x+y+1≥0
B．
C．y≥x+2
D．x-y≤2

6. 难度：中等

在（1+x）ⁿ的展开式中，奇数项的和为P，偶数项的和为Q，则（1-x²）ⁿ=（ ）
A．P•Q
B．p²-Q²
C．P+Q
D．P²+Q²

7. 难度：中等

若函数f（x）=x³+3bx-3b在区间（0，1）内存在极小值，则实数b的取值范围为（ ）
A．-1＜b＜0
B．b＞-1
C．b＜0
D．

8. 难度：中等

已知0＜a＜1，P=-log_a（1-a），Q=log_a（1+a+a²+…+a²⁰⁰⁷），则P与Q的大小关系为（ ）
A．P＞Q
B．P＜Q
C．P≥Q
D．P≤Q

9. 难度：中等

如图，在正三棱锥S-ABC中，M、N分别为棱SC、BC的中点，并且AM⊥MN，若侧棱长SA=，则正三棱锥S-ABC的外接球的表面积为（ ）

A．9π
B．12π
C．16π
D．32π

10. 难度：中等

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的各个顶点与各棱中点共20个点中，任取两点连成直线，所连的直线中与A₁BC₁平行的直线共有（ ）
A．12条
B．18条
C．21条
D．24条

二、填空题

11. 难度：中等

抛物线y=4x²的准线方程为    ．

12. 难度：中等

已知关于x的不等式ax²+bx+c＜0的解集为（-1，2），则关于x的不等式的解集为     ．

13. 难度：中等

若变量x、y满足，则的最小值为    ．

14. 难度：中等

若含有集合A={1，2，4，8，16}中三个元素的A的所有子集依次记为B₁，B₂，B₃，…，B_n（其中n∈N*），又将集合B_i（i=1，2，3，…，n）的元素的和记为a_i，则a₁+a₂+a₃+…+a_n=    ．

15. 难度：中等

电子计算机中使用二进制，它与十进制的换算关系如下表：

十进制	1	2	3	4	5	6	…
二进制	1	10	11	100	101	110	…

观察二进制1位数，2位数，3位数时，对应的十进制的数如上表，当二进制为6位数时能表示十进制数中最大的数是    ．

16. 难度：中等

设G为△ABC的重心，，则的值=    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知R为全集，，求

18. 难度：中等

已知A、B、C三点的坐标分别为A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα），．
（1）若，求角α的值；
（2）若，求的值．

19. 难度：中等

如图，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，面AA₁C₁C是菱形，∠ACC₁=60°，侧面ABB₁A₁⊥AA₁C₁C，A₁B=AB=AC=1．求证：
（1）AA₁⊥BC₁；
（2）求点A₁到平面ABC的距离．

20. 难度：中等

某人玩硬币走跳棋的游戏，已知硬币出现正、反面的概率都是．棋盘上标有第0站、第1站、第2站、…、第100站．一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋子向前跳一站；若掷出反面，则棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站（胜利大本营）或第100站（失败大本营）时，该游戏结束．设棋子跳到第n站的概率为P_n．
（Ⅰ）求：P，P_l，P₂；
（Ⅱ）求证：；（n≤99，n∈N）
（Ⅲ）求：玩该游戏获胜的概率．

21. 难度：中等

已知动点P（p，-1），Q（p，），过Q作斜率为的直线l，P Q中点M的轨迹为曲线C．
（1）证明：l经过一个定点而且与曲线C一定有两个公共点；
（2）若（1）中的其中一个公共点为A，证明：AP是曲线C的切线．

22. 难度：中等

已知集合M_D是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数k，使得对定义域D内的任意两个不同的实数x₁，x₂，均有|f（x₁）-f（x₂）|≤k|x₁-x₂|成立．
（Ⅰ） 当D=R时，f（x）=x是否属于M_D？说明理由；
（Ⅱ） 当D=[0，+∞）时，函数属于M_D，求k的取值范围；
（Ⅲ） 现有函数f（x）=sinx，是否存在函数g（x）=kx+b（k≠0），使得下列条件同时成立：
①函数g（x）∈M_D；
②方程g（x）=0的根t也是方程f（x）=0的根，且g（f（t））=f（g（t））；
③方程f（g（x））=g（f（x））在区间[0，2π）上有且仅有一解．若存在，求出满足条件的k和b；若不存在，说明理由．

23. 难度：中等

某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不作广告宣传且每件获利a元的前提下，可卖出b件．若作广告宣传，广告费为n千元时比广告费为（n-1）千元时多卖出件，（n∈N^*）．
（1）试写出销售量s与n的函数关系式；
（2）当a=10，b=4000时厂家应生产多少件这种产品，做几千元广告，才能获利最大？