2010年重庆市南开中学高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

=（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

=（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，a₂+a₃+a₁₄=27，则其前11项的和S₁₁=（ ）
A．99
B．198
C．
D．128

4. 难度：中等

三个学校分别有1名、2名、3名学生获奖，这6名学生要排成一排合影，则同校学生相邻排列的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知△ABC的外心为O，，则=（ ）
A．8
B．4
C．2
D．1

6. 难度：中等

A，B为△ABC的两内角，则“A＞B”是“cos²A＜cos²B”的如下哪个条件（ ）
A．充分不必要
B．必要不充分
C．不充分不必要
D．充分必要

7. 难度：中等

在△ABC中，A=90°，B=60°，一椭圆与一双曲线都以B，C为焦点，且都过A，它们的离心率分别为e₁，e₂，则e₁+e₂的值为（ ）
A．
B．
C．3
D．2

8. 难度：中等

定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）=f（x+2），当x∈[3，4]时，f（x）=x-2，则（ ）
A．f（sin）＜f（cos）
B．f（sin）＞f（cos）
C．f（sin1）＜f（cos1）
D．f（sin）＞f（cos）

9. 难度：中等

已知y=f（x）为R上的连续可导的函数，当x≠0时，，则关于x的方程的根的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．0或2

10. 难度：中等

如图，面ABC⊥α，D为AB的中点，|AB|=2，∠CDB=60°，P为α内的动点，且P到直线CD的距离为，则∠APB的最大值为（ ）

A．30°
B．60°
C．90°
D．120°

二、填空题

11. 难度：中等

不等式的解集是    ．

12. 难度：中等

已知实数x，y满足不等式组，则目标函数z=x+3y的最大值为    ．

13. 难度：中等

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=1，D在棱BB₁上，且BD=1，若AD与平面AA₁CC₁所成的角为a，则sina=    ．

14. 难度：中等

设函数f（x-1）=x+x²+x³+…+xⁿ（x≠0，1），且f（x）中所有项的系数和为a_n，则=    ．

15. 难度：中等

把数列的所有项按照从大到小的原则写成如图所示的数表，其中的第k行有2^k-1个数，第k行的第s个数（从左数起）记为A（k，s），则A（10，495）=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知A、B、C为△ABC的三内角，且其对边分别为a、b、c，若，，且
（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若b+c=4，△ABC的面积为，求a．

17. 难度：中等

在一次数学考试中，共有10道选择题，每题均有四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，评分标准规定：“每道题只选一个选项，答对得5分，不答或答错得零分”．某考生已确定有6道题是正确的，其余题目中：有两道题可判断两个选项是错误的，有一道可判断一个选项是错误的，还有一道因不理解题意只好乱猜，请求出该考生：
（Ⅰ）得50分的概率；
（Ⅱ）设该考生所得分数为ξ，求ξ的数学期望．

18. 难度：中等

已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，PD⊥面ABCD，PD=2，E，F分别为BC，AD的中点，
（Ⅰ）求直线DE与面PBC所成角的正弦值；
（Ⅱ）求二面角P-BF-D的正切值．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=aln（x+1）+（x+1）²，其中，a为实常数且a≠0．
（Ⅰ）求f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）若对任意x∈（-1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．

20. 难度：中等

已知曲线C上任意一点M到点F（1，0）的距离比它到直线x=-2的距离小1．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）直线l：y=-x+b与曲线C相交于A，B两点，P（1，2），设直线PA、PB的斜率分别为k₁，k₂，求证：k₁+k₂为定值．

21. 难度：中等

设各项为正的数列{a_n}满足：，令b₁=a₁，．
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）求证：．