2012年陕西省西安市西工大附中高考数学八模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3，5}，N={4，5}，则集合{1，6}=（ ）
A．M∪N
B．M∩N
C．C_U（M∪N）
D．C_U（M∩N）

2. 难度：中等

函数的定义域为（ ）
A．[1，2）∪（2，+∞）
B．（-1，2）∪（2，+∞）
C．[-1，2）∪（2，+∞）
D．（-1，+∞）

3. 难度：中等

条件p：|x+1|＞2，条件q：x≥2，则￢p是￢q的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要的条件

4. 难度：中等

函数y=的图象关于x轴对称的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

等于（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

若函数f（x）在R上可导，且f（x）=x²+2f′（2）x+m，（m∈R），则（ ）
A．f（0）＜f（5）
B．f（0）=f（5）
C．f（0）＞f（5）
D．无法确定

7. 难度：中等

如图，在平行四边形ABCD中，2|AB|²+|BD|²-4=0，∠ABD=90°，沿BD折成直二面角A-BD-C，则三棱锥A-BCD的外接球的表面积是（ ）
A．16π
B．8π
C．4π
D．2π

8. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的公差d＜0，若a₄a₆=24，a₂+a₈=10，则该数列的前n项和S_n的最大值为（ ）
A．50
B．45
C．40
D．35

9. 难度：中等

已知双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点是F₁，F₂，设P是双曲线右支上一点，上的投影的大小恰好为且它们的夹角为，则双曲线的离心率e为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知O为直角坐标系原点，P，Q坐标均满足不等式组，则使cos∠POQ取最小值时的∠POQ的大小为（ ）
A．
B．π
C．2π
D．

二、填空题

11. 难度：中等

定义某种新运算⊙：s=a⊙b的运算原理如图流程图所示，则5⊙4-3⊙4=    ．

12. 难度：中等

甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是    ．

13. 难度：中等

=    ．

14. 难度：中等

观察下列式子：，，，…，则可以猜想：    ．

15. 难度：中等

选做题（请考生在三个小题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）
（A）（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系x0y中，以原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C与直线l的方程分别为：（t为参数）．若圆C被直线l平分，则实数x的值为    ．
（B）（不等式选做题）若关于x的不等式|x-m|＜2成立的充分不必要条件是2≤x≤3，则实数m的取值范围是    ．
（C） （几何证明选讲） 如图，割线PBC经过圆心O，OB=PB=1，OB绕点O逆时针旋转120°到OD，连PD交圆O于点E，则PE=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

设函数，其中向量，．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和在[0，π]上的单调递增区间．
（Ⅱ）当时，-4＜f（x）＜4恒成立，求实数m的取值范围．

17. 难度：中等

一个盒子装有6张卡片，上面分别写着如下6个定义域为R的函数：，，，f₄（x）=sinx，f₅（x）=cosx，f₆（x）=2．
（Ⅰ）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到一个新函数，求所得的新函数是奇函数的概率；
（Ⅱ）现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数ξ的分布列和数学期望．

18. 难度：中等

已知数列{a_n}满足
（1）求证：数列（n∈N^*）是等比数列；
（2）设，数列{c_n}的前n项和T_n，求证：对任意的n∈N^*，T_n．

19. 难度：中等

已知四棱锥P-ABCD的直观图和三视图如图所示，E是PB的中点．
（Ⅰ）若F是BC上任一点，求证：AE⊥PF；
（Ⅱ）设AC，BD交于点O，求直线BO与平面ABC所成角的正弦值．

20. 难度：中等

已知椭圆C中心在原点，焦点在坐标轴上，直线与椭圆C在第一象限内的交点是M，点M在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点F₂，椭圆C另一个焦点是F₁，且．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线l过点（-1，0），且与椭圆C交于P，Q两点，求△F₂PQ的内切圆面积的最大值．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R，a≠0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为，问：m在什么范围取值时，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间[t，3]上总存在极值？
（Ⅲ）当a=2时，设函数，若在区间[1，e]上至少存在一个x，使得h（x）＞f（x）成立，试求实数p的取值范围．