2010年北京市首师大附中高三大练习数学试卷08（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知点（n，a_n）（n∈N^*）都在直线3x-y-24=0上，那么在数列a_n中有a₇+a₉=（ ）
A．a₇+a₉＞0
B．a₇+a₉＜0
C．a₇+a₉=0
D．a₇•a₉=0

2. 难度：中等

将函数y=2sin2x的图象按向量a平移，得到函数y=2sin（2x+）+1的图象，则a等于（ ）
A．（-，1）
B．（-，1）
C．（，-1）
D．（，1）

3. 难度：中等

若a＞b＞0，则下列不等式中总成立的是（ ）
A．a+＞b+
B．＞
C．a+＞b+
D．＞

4. 难度：中等

函数（0＜a＜1）的图象的大致形状是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

下列说法错误的是（ ）
A．如果命题“￢p”与命题“p或q”都是真命题，那么命题q一定是真命题；
B．命题“若a=0，则ab=0”的否命题是：“若a≠0，则ab≠0”；
C．若命题p：∃x∈R，x²-x+1＜0，则¬p：∀x∈R，x²-x+1≥0；
D．“”是“θ=30°”的充分不必要条件

6. 难度：中等

已知数列{a_n}为等差数列，且a₁+a₇+a₁₃=4π，则tan（a₂+a₁₂）的值为（ ）
A．-
B．
C．
D．-

7. 难度：中等

曲线y=ln（2x-1）上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是（ ）
A．
B．
C．
D．0

8. 难度：中等

设关于x的不等式x²+4x-2a≤0和x²-ax+a+3≤0的解集分别是A、B．下列说法中不正确的是（ ）
A．不存在一个常数a使得A、B同时为∅
B．至少存在一个常数a使得A、B都是仅含有一个元素的集合
C．当A、B都是仅含有一个元素的集合时，总有A≠B
D．当A、B都是仅含有一个元素的集合时，总有A=B

二、填空题

9. 难度：中等

在△ABC中，已知BC=8，AC=5，三角形面积为12，则cos2C=    ．

10. 难度：中等

函数在区间（-∞，a）上是增函数，则a的取值范围是     ．

11. 难度：中等

在数列a_n中，a₁=2，，则a_n=    ．

12. 难度：中等

对于函数y=f（x），定义域为D，以下命题正确的是（只要求写出命题的序号）     ；
①若f（-1）=f（1），f（-2）=f（2），则y=f（x）是D上的偶函数；
②若f（-1）＜f（0）＜f（1）＜f（2），则y=f（x）是D上的递增函数；
③若f'（2）=0，则y=f（x）在x=2处一定有极大值或极小值；
④若∀x∈D，都有f（x+1）=f（-x+3）成立，则y=f（x）图象关于直线x=2对称．

13. 难度：中等

已知函数f（x）=则f（lg30-lg3）=    ；不等式xf（x-1）＜10的解集是    ．

14. 难度：中等

观察下列等式：
，
，
，
，
，
，
…
，
可以推测，当k≥2（k∈N^*）时，=    a_k-2=    ．

三、解答题

15. 难度：中等

在△ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cos2A=，sinB=．
（1）求A+B的值；
（2）若a-b=-1，求a、b、c的值．

16. 难度：中等

解关于x的不等式：．

17. 难度：中等

已知函数f（x）=aln（1+e^x）-（a+1）x，（其中a＞0），点A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），C（x₃，f（x₃））从左到右依次是函数y=f（x）图象上三点，且2x₂=x₁+x₃．
（Ⅰ）证明：函数f（x）在（-∞，+∞）上是减函数；
（Ⅱ）求证：△ABC是钝角三角形；
（Ⅲ）试问△ABC能否是等腰三角形？若能，求△ABC面积的最大值；若不能，请说明理由．

18. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）证明；
（Ⅱ）若数列{a_n}的通项公式为，求数列{a_n}的前m项和S_m；
（Ⅲ）设数列{b_n}满足：，设，若（Ⅱ）中的S_m满足对任意不小于2的正整数n，S_m＜T_n恒成立，试求m的最大值

19. 难度：中等

已知函数f（x）=ln（ax+1）+x²-ax，a＞0，
（Ⅰ）若是函数f（x）的一个极值点，求a；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调区间A；
（Ⅲ）若对于任意的a∈[1，2]，不等式f（x）≤m在上恒成立，求m的取值范围．