2011年福建省福州三中高考数学六模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

计算i（1-i）²等于（ ）
A．2-2i
B．2+2i
C．-2
D．2

2. 难度：中等

设命题p：x＞2是x²＞4的充要条件，命题q：若，则a＞b．则（ ）
A．“p或q”为真
B．“p且q”为真
C．p真q假
D．p，q均为假命题

3. 难度：中等

如图所示程序框图运行后输出的结果为（ ）
A．36
B．45
C．55
D．56

4. 难度：中等

已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，则下列四个命题中真命题的是（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m∥α，m∥n，则n∥α
C．若α∥β，α∩γ=m，β∩γ=n，则m∥n
D．若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β

5. 难度：中等

已知函数y=f（x）的大致图象如图所示，则函数y=f（x）的解析式应为（ ）

A．f（x）=e^xln
B．f（x）=e^-xln|x|
C．f（x）=e^xln|x|
D．f（x）=e^|x|ln|x|

6. 难度：中等

四个旅行团选择四个景点游览，其中恰有一个景点没有旅行团游览的情况有（ ）种．
A．36
B．72
C．144
D．288

7. 难度：中等

函数的部分图象如图所示，则=（ ）

A．4
B．6
C．1
D．2

8. 难度：中等

由不等式组围成的三角形区域内有一个内切圆，向该三角形区域内随机投一个点，该点落在圆内的概率是关于t的函数P（t），则（ ）
A．P′（t）＞0
B．P′（t）＜0
C．P′（t）=0
D．P′（t）符号不确定

9. 难度：中等

已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左右焦点分别为F₁F₂，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF₁F₂是以PF₁为底边的等腰三角形．若|PF₁|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e₁，e₂，则e₁•e₂的取值范围是（ ）
A．（0，）
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知f（x）=x³-3x+m，在区间[0，2]上任取三个数a，b，c，均存在以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形，则m的取值范围是（ ）
A．m＞2
B．m＞4
C．m＞6
D．m＞8

二、填空题

11. 难度：中等

已知集合A={x∈R|-1≤x＜1}，B={x∈R|1＜2^x≤4}，则A∩（C_RB）=    ．

12. 难度：中等

将函数的图象上各点的横坐标缩小为原来的一半，纵坐标保持不变得到新函数g（x），则g（x）的最小正周期是    ．

13. 难度：中等

某项游戏活动的奖励分成一、二、三等奖且相应获奖概率是以a₁为首项公比为2的等比数列，相应获得的奖金是以700元为首项，公差为-140元的等差数列，则参与该游戏获得奖金的期望为    元．

14. 难度：中等

根据气象预报，某海域将有台风，位于港口O（如图）正东方向20海里B处的渔船回港避风时出现故障．位于港口南偏西30°，距港口10海里C处的拖轮接到海事部门营救信息后以30海里1小时的速度沿直线CB去营救渔船，则拖轮到达B处需要    小时．

15. 难度：中等

设M₁（0，0），M₂（1，0），以M₁为圆心，|M₁ M₂|为半径作圆交x轴于点M₃（不同于M₂），记作⊙M₁；以M₂为圆心，|M₂ M₃|为半径作圆交x轴于点M₄（不同于M₃），记作⊙M₂；…；
以M_n为圆心，|M_n M_n+1|为半径作圆交x轴于点M_n+2（不同于M_n+1），记作⊙M_n；…
当n∈N*时，过原点作倾斜角为30°的直线与⊙M_n交于A_n，B_n．考察下列论断：
当n=1时，|A₁B₁|=2；
当n=2时，|A₂B₂|=；
当n=3时，|A₃B₃|=；
当n=4时，|A₄B₄|=；
…
由以上论断推测一个一般的结论：对于n∈N*，|A_nB_n|=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

在平面直角坐标系中，角α，β的始边为x轴的非负半轴，点P（1，2cos²θ）在角α的终边上，点Q（sin²θ，-1）在角β的终边上，且．
（1）求cos2θ；
（2）求P，Q的坐标并求sin（α+β）的值．

17. 难度：中等

已知几何体A-BCDE的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．
（1）若几何体A-BCDE的体积为16，求实数a的值；
（2）若a=1，求异面直线DE与AB所成角的余弦值；
（3）是否存在实数a，使得二面角A-DE-B的平面角是45°，若存在，请求出a值；若不存在请说明理由．

18. 难度：中等

有一种新型的奇强洗衣液，特点是去污速度快．已知每投放k（1≤k≤4，且k∈R）个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（分钟）变化的函数关系式近似为y=k•f（x），其中．若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效去污的作用．
（1）若只投放一次k个单位的洗衣液，2分钟时水中洗衣液的浓度为3（克/升），求k的值？
（2）若只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？
（3）若第一次投放2个单位的洗衣液，10分钟后再投放1个单位的洗衣液，在第12分
钟时洗衣液是否还能起到有效去污的作用？能，请加以证明；不能，请说明理由．

19. 难度：中等

已知点P（m，-1）（m∈R），过点P作抛物线C：y=x²的切线，切点分别为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）．
（1）若过点P的切线的斜率为1，求m的值；
（2）证明x₁，m，x₂成等差数列；
（3）若以点P为圆心的圆E与直线AB相切，求圆E面积的最小值．

20. 难度：中等

已知函数（a∈R）．
（1）若函数f（x）在区间[2，+∞）上是单调递增函数，试求实数a的取值范围；
（2）当a=2时，求证：（x＞2）；
（3）求证：（n∈N^*且n≥2）．

21. 难度：中等

（1）选修4-4：矩阵与变换
已知曲线C₁：y=绕原点逆时针旋转45°后可得到曲线C₂：y²-x²=2，
（I）求由曲线C₁变换到曲线C₂对应的矩阵M₁；    
（II）若矩阵，求曲线C₁依次经过矩阵M₁，M₂对应的变换T₁，T₂变换后得到的曲线方程．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线l的极坐标方程是ρcosθ+ρsinθ-1=0．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，在曲线C：（θ为参数）上求一点，使它到直线l的距离最小，并求出该点坐标和最小距离．
（3）（选修4-5：不等式选讲）
将12cm长的细铁线截成三条长度分别为a、b、c的线段，
（I）求以a、b、c为长、宽、高的长方体的体积的最大值；
（II）若这三条线段分别围成三个正三角形，求这三个正三角形面积和的最小值．