2010年北京市首师大附中高三大练习数学试卷09（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M={0，1}，N={2x+1|x∈M}，则M∩N=（ ）
A．{1}
B．{0，1}
C．{0，1，3}
D．空集

2. 难度：中等

命题“∃x∈R，x＜1或x²≥4”的否定是（ ）
A．∃x∈R，x≥1且x²＜4
B．∀x∈R，x＜1或x²≥4
C．∀x∈R，x≥1且x²＜4
D．∀x∈R，x＞1且x²＜4

3. 难度：中等

函数，当0＜x＜1时，下列式子大小关系正确的是（ ）
A．f²（x）＜f（x²）＜f（x）
B．f（x²）＜f²（x）＜f（x）
C．f（x）＜f（x²）＜f²（x）
D．f（x²）＜f（x）＜f²（x）

4. 难度：中等

绘制频数分布直方图时，各小长方形面积占全体小长方形总面积的百分比刚好等于相应各组的（ ）
A．组距
B．平均值
C．频数
D．频率

5. 难度：中等

如图，已知A（4，0）、B（0，4），从点P（2，0）射出的光线经直线AB反向后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是（ ）
A．2
B．6
C．3
D．2

6. 难度：中等

已知Ω={（x，y）|}，直线y=mx+2m和曲线y=有两个不同的交点，它们围成的平面区域为M，向区域Ω上随机投一点A，点A落在区域M内的概率为P（M），若P（M）∈[，1]，则实数m的取值范围（ ）
A．[，1]
B．[0，]
C．[，1]
D．[0，1]

7. 难度：中等

已知实数a，b满足等式2^a=3^b，下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；
⑤a=b．其中可能成立的关系式有（ ）
A．①②③
B．①②⑤
C．①③⑤
D．③④⑤

8. 难度：中等

如图为△ABC和一圆的重迭情形，此圆与直线BC相切于C点，且与AC交于另一点D．若∠A=70°，∠B=60°，则 的度数为何（ ）

A．50°
B．60°
C．100°
D．120°

二、填空题

9. 难度：中等

若A（-1，2），B（m，0），C（5，-6）三点共线．则实数m的值等于     ．

10. 难度：中等

直角坐标平面xoy中，若定点A（1，2）与动点P（x，y）满足，则点P的轨迹方程是     ．

11. 难度：中等

已知a＞0，b＞0，则的最小值是     ．

12. 难度：中等

若（a+1）^-2＜（3a-2）^-2，则a的取值范围是．

13. 难度：中等

圆为参数）的标准方程是     ，过这个圆外一点P（2，3）的该圆的切线方程是     ；

14. 难度：中等

设函数有两个极值点，其中一个在区间（0，1）内，另一个在区间（1，2）内，则的取值范围是    ．

三、解答题

15. 难度：中等

在△ABC中，已知BC边上的高所在直线的方程为x-2y+1=0，∠A的平分线所在直线的方程为y=0．若点B的坐标为（1，2），求点C的坐标．

16. 难度：中等

设集合，B={x|（x-m+1）（x-2m-1）＜0}．
（1）求A∩Z；
（2）若A⊇B，求m的取值范围．

17. 难度：中等

已知过点A（0，1），且方向向量为的直线l与⊙C：（x-2）²+（y-3）²=1，相交于M、N两点．
（1）求实数k的取值范围；
（2）求证：=定值；
（3）若O为坐标原点，且=12，求k的值．

18. 难度：中等

定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．已知函数；．
（1）当a=1时，求函数f（x）在（-∞，0）上的值域，并判断函数f（x）在（-∞，0）上是否为有界函数，请说明理由；
（2）若函数f（x）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围；
（3）若m＞0，函数g（x）在[0，1]上的上界是T（m），求T（m）的取值范围．

19. 难度：中等

已知数列a₁，a₂，…a₃₀，其中a₁，a₂，…a₁₀，是首项为1，公差为1的等差数列；列a₁₀，a₁₁，…a₂₀，是公差为d的等差数列；a₂₀，a₂₁，…a₃₀，是公差为d²的等差数列（d≠0）．
（1）若a₂₀=40，求d；
（2）试写出a₃₀关于d的关系式，并求a₃₀的取值范围；
（3）续写已知数列，使得a₃₀，a₃₁，…a₄₀，是公差为d³的等差数列，…，依此类推，把已知数列推广为无穷数列．提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？