2010年辽宁省鞍山一中高考数学六模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设全集U={1，2，3，4，5}，若集合S和T满足S∩T={2}，（C_US）∩T={4}，（C_US）∩（C_UT）={1，5}，则S中元素的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

2. 难度：中等

已知椭圆的短轴长为4，焦点是（0，2）和（0，-2），则椭圆方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，该几何体的侧面积为（ ）

A．40
B．24
C．88+24
D．40+24

4. 难度：中等

已知方程x²-2ix+b=1有实根，则实数b满足（ ）
A．b=0
B．b=1
C．b＜0
D．b≤0

5. 难度：中等

执行图中的程序框图，输出的T=（ ）

A．10
B．24
C．30
D．40

6. 难度：中等

已知，且z=2x+y的最大值是最小值的3倍，则a等于（ ）
A．或3
B．
C．或2
D．

7. 难度：中等

若（3x+）ⁿ的展开式中各项系数之和为1024，则展开式中含x的整数次幂的项共有（ ）
A．3项
B．4项
C．5项
D．6项

8. 难度：中等

过抛物线y²=8x的焦点，作直线交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，若x₁+x₂=6，则|AB|长为（ ）
A．10
B．8
C．6
D．5

9. 难度：中等

直角坐标系中，设A（2，3），B（-3，-2），沿y轴把直角坐标系折成120°二面角后，则AB的长度是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

如图为函数y=m+log_nx 的图象，其中m、n为常数，则下列结论正确的是（ ）
A．m＜0，n＞1
B．m＞0，n＞1
C．m＞0，0＜n＜1
D．m＜0，0＜n＜1

11. 难度：中等

有6个座位连成一排，三人就座，恰有两个空位相邻的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

已知偶函数y=f（x）对任意实数x都有f（x+1）=-f（x），且在[0，1]上单调递减，则（ ）
A．＜＜
B．＜＜
C．＜＜
D．＜＜

二、填空题

13. 难度：中等

实数x，y满足x≥0，y≥0且x+2y=1，则2x+3y²的最小值为    ．

14. 难度：中等

已知函数，直线x=m与f（x）和g（x）的图象分别交于M、N两点，则|MN|的最大值    ．

15. 难度：中等

设D、P为△ABC的两点，且满足=，=+，则=    ．

16. 难度：中等

f（x）是偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，如果f（ax+1）≤f（x-2）在[，1]上恒成立，则实数a的取值范围是     ．

三、解答题

17. 难度：中等

甲、乙两人射击（每次射击是相互独立事件），规则如下：若某人一次击中，则由他继续射击；若一次不中，就由对方接替射击．已知甲、乙二人每次击中的概率均为，若两人合计共射击3次，且第一次由甲开始射击．求：
（Ⅰ）甲恰好击中2次的概率；
（Ⅱ）乙射击次数ξ的分布列及期望．

18. 难度：中等

各项均为正数的数列{a_n}的前n次和S_n，已知S₁=2，a₆₇₀=2009，2（a+b）S_n=（a_n+a）（a_n+b），n∈N₊，b＞＞a．
（1）求a和b的值；
（2），记数列{b_n}的前n项和为T_n，求T_n．

19. 难度：中等

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，AB=AC，F为BB₁上一点，BF=BC=2，FB₁=1，D为BC中点，E为线段AD上不同于A、D的任意一点，
（1）证明：EF⊥FC₁；
（2）若，是否存在点E满足EF与平面FA₁C₁所成角为，若存在，求点E到平面A₁C₁CA的距离；若不存在，说明理由．

20. 难度：中等

（x＞0），已知k≥0，若f（x）＞0恒成立，求k的取值范围．

21. 难度：中等

设四点A、B、C、D均在双曲线x²-y²=1的右支上．
（1）若=（实数λ≠0），证明：（O是坐标原点）；
（2）若|AB|=2，P是线段AB的中点，过点P分别作该双曲线的两条渐近线的垂线，垂足为M、N，求四边形OMPN的面积的最大值．

22. 难度：中等

已知圆O的半径为R，AB是圆O的直径，D是AB延长线上一点，DC是圆O的切线，C是切点，连接AC，若∠CAB=30°，求BD的长．

23. 难度：中等

已知直线l的参数方程为，（t为参数，α为倾斜角，且）与曲线=1交于A，B两点．
（Ⅰ）写出直线l的一般方程及直线l通过的定点P的坐标；
（Ⅱ）求|PA||PB|的最大值．

24. 难度：中等

有十张形状相同的卡片，每张卡片上分别写有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，从中任意抽取一张，问抽到数字5的卡片的概率是______．抽到数字是2的倍数的卡片的概率是______．是3的倍数的卡片概率______．