2011年甘肃省兰州一中高考实战演练数学试卷4（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U=R，集合P={x|x≥3}，M={x|x＜4}，则P∩（C_UM）=（ ）
A．P
B．M
C．{x|3≤x＜4}
D．{x|x≥4}

2. 难度：中等

不等式的解集为（ ）
A．{x|x＜-3，x＞2}
B．{x|-3＜x＜2}
C．{x|x＞-3}
D．{x|x＜2}

3. 难度：中等

已知函数f（x）=sin（2ωx-）（ω＞0）的最小正周期为π，则函数f（x）的图象的一条对称轴方程是（ ）
A．x=
B．x=
C．x=
D．x=

4. 难度：中等

若的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项系数之和为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

若=（1，2），=（-1，1），k与共线，则k的值是（ ）
A．2
B．1
C．0
D．-1

6. 难度：中等

若cos（2π-α）=，且α∈（-，0），则sin（π+α）=（ ）
A．-
B．-
C．
D．

7. 难度：中等

在“家电下乡”活动中，某厂准备从5名销售员和4名技术员中选出3人赴邻近镇开展家电促销活动，若要求销售员和技术员至少各一名，则不同的组合方案种数为（ ）
A．140
B．100
C．80
D．70

8. 难度：中等

已知函数f（x）=，则“c=-1”是“函数f（x）在R上递增”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

9. 难度：中等

在棱锥P-ABC中，侧棱PA、PB、PC两两垂直，Q为底面△ABC内一点，若点Q到三个侧面的距离分别为3、4、5，则以线段PQ为直径的球的表面积为（ ）
A．100π
B．50π
C．25π
D．

10. 难度：中等

下列关于实数x的不等关系中，恒成立的是（ ）
A．|x-1|-|x+2|≤3
B．x+≥2
C．+≤1
D．x²+1＞2

11. 难度：中等

已知椭圆的一个焦点为F，若椭圆上存在点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF的中点，则该椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

已知函数f（x）=，把方程f（x）-x=0的根按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为（ ）
A．a_n=（n∈N⁺）
B．a_n=n（n-1）（n∈N⁺）
C．a_n=n-1（n∈N⁺）
D．a_n=2ⁿ-2（n∈N⁺）

二、填空题

13. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，已知a₃+a₇=-2，则数列{a_n}的前9项和S₉=    ．

14. 难度：中等

抛物线y=2x²的准线方程是    ．

15. 难度：中等

满足约束条件 的点P（x，y）所在平面区域的面积为    ．

16. 难度：中等

若函数f（x）在其定义域内某一区间[a，b]上连续，且对[a，b]中任意实数x₁，x₂，都有，则称函数f（x）在[a，b]上是下凸函数；有以下几个函数：
①f（x）=x²+ax+b，x∈R；
②；
③f（x）=sinx，x∈[0，2π）；
④；
⑤．
其中是下凸函数的是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），|-|=．
（1）求cos（α-β）的值；
（2）若0＜α＜，-＜β＜0，且sinβ=-，求sinα的值．

18. 难度：中等

如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，CD=BC=1，AB=2，E为AB的中点，将△ADE沿DE翻折至△A′DE，使二面角A′-DE-B为直二面角．
（1）若F、G分别为A′D、EB的中点，求证：FG∥平面A′BC；
（2）求二面角D-A′B-C度数的余弦值

19. 难度：中等

某校选拔若干名学生组建数学奥林匹克集训队，要求选拔过程分前后两次进行，当第一次选拔合格后方可进入第二次选拔，两次选拔过程相互独立．根据甲、乙、丙三人现有的水平，第一次选拔，甲、乙、丙三人合格的概率依次为0.5，0.6，0.4．第二次选拔，甲、乙、丙三人合格的概率依次为0.6，0.5，0.5．
（1）求第一次选拔后甲、乙两人中只有甲合格的概率；
（2）分别求出甲、乙、丙三人经过前后两次选拔后合格的概率；
（3）求甲、乙、丙经过前后两次选拔后，恰有一人合格的概率．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足，（4ⁿ-1）a_n=3×4^n-1S_n，n∈N^*，设，T_n为数列{b_n}的前n项和．
（I）求S_n；
（II）求证：．

21. 难度：中等

已知圆，定点，点P为圆M上的动点，点Q在NP上，点G在MP上，且满足．
（I）求点G的轨迹C的方程；
（II）过点（2，0）作直线l，与曲线C交于A、B两点，O是坐标原点，设，是否存在这样的直线l，使四边形OASB的对角线相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，试说明理由．

22. 难度：中等

若函数f（x）=ax³-bx+4，当x=2时，函数f（x）有极值，且函数f（x）图象上以点A（3，f（3））为切点的切线与直线5x-y+1=0平行．
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）以点A（3，f（3））为切点的切线方程；
（III）若方程f（x）=k有3个解，求实数k的取值范围．