2010年湖北省荆门市龙泉中学高三数学综合训练10（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={0，1}，B={y|x²+y²=1，x∈A}，则A与B的关系为（ ）
A．A=B
B．A⊆B
C．A⊇B
D．A∩B=∅

2. 难度：中等

已知函数f（x）的导函数为f′（x）=2+cosx，x∈（-1，1），且f（0）=0，如果f（1-x）+f（1-x²）＜0，则实数x的取值范围为（ ）
A．（0，1）
B．
C．
D．

3. 难度：中等

已知函数，其中a＞0，b＞0，若存在，且f（x）在（-1，1）上有最大值，则b的取值范围是（ ）
A．0＜b≤1
B．b＞1
C．b≥1
D．

4. 难度：中等

已知函数f（x）=e^ax的图象在点（0，1）处的切线与直线x+2y+1=0垂直，则等于（ ）
A．2e²
B．
C．
D．

5. 难度：中等

设A、B、C是△ABC的三个内角，且sin²B+sin²C=sin²A+sinBsinC，则2sinBcosC-sin （B-C）的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知k∈Z，，若，则△ABC是直角三角形的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

如果样本1，2，3，5，x的平均数是3，那么样本的方差为（ ）
A．3
B．9
C．4
D．2

8. 难度：中等

已知a₁，a₂，b₁，b₂均为非零实数，集合A={x|a₁x+b₁＞0}，B={x|a₂x+b₂＞0}，则“”是“A=B”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

9. 难度：中等

函数f：R→R，对任意的实数x，y，只要x+y≠0，就有f（xy）=成立，则函数f（x）（x∈R）的奇偶性为（ ）
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数又不是偶函数

10. 难度：中等

给出定义：若（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}=m．在此基础上给出下列关于函数f（x）=|x-{x}|的四个命题：
①函数y=f（x）的定义域为R，值域为；
②函数y=f（x）的图象关于直线（k∈Z）对称；
③函数y=f（x）是周期函数，最小正周期为1；
④函数y=f（x）在上是增函数．
其中正确的命题的序号是（ ）
A．①
B．②③
C．①②③
D．①④

二、填空题

11. 难度：中等

函数f（x）对于任意实数x满足条件f（x+2）=，若f（1）=-5，则f[f（5）]=    ．

12. 难度：中等

命题“若x²＜1，则-1＜x＜1”的逆否命题是     ．

13. 难度：中等

已知f（x）是以2为周期的偶函数，当x∈[0，1]，f（x）=x，那么在区间[-1，3]内，关于x的方程y=kx+k+1（其中k为不等于1的实数）有四个不同的实根，则k的取值范围是     ．

14. 难度：中等

对于函数（其中a为实数，x≠1），给出下列命题：
①当a=1时，f（x）在定义域上为单调增函数；
②f（x）的图象的对称中心为（1，a）；
③对任意a∈R，f（x）都不是奇函数；
④当a=-1时，f（x）为偶函数；
⑤当a=2时，对于满足条件2＜x₁＜x₂的所有x₁，x₂总有f（x₁）-f（x₂）＜3（x₂-x₁）．
其中正确命题的序号为     ．

15. 难度：中等

当时，恒成立，则实数a的取值范围是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

设函数f（x）=kx+2，不等式[f（x）]²＜36的解集为（-1，2）．
（1）求k的值；
（2）求不等式的解集．

17. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知．设B=x，△ABC的周长为y．
（1）求函数y=f（x）的解析式和定义域；
（2）求y=f（x）的单调区间．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=x³ax²+bx+1（x∈R，a，b为实数）有极值，且x=-1处的切线与直线x-y+1=0平行．
（1）求实数a的取值范围．
（2）是否存在实数a，使得f′（x）=x的两个根x₁，x₂满足0＜x₁＜x₂＜1，若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．

19. 难度：中等

已知函数的定义域为M．
（1）求M；
（2）当x∈M时，求f（x）=a•2^x+2+3•4^x（a＞-3）的最小值．

20. 难度：中等

已知函数，其中a为大于零的常数．
（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[1，2]上的最小值；
（Ⅲ）求证：对于任意的n∈N^*，n＞1时，都有lnn＞成立．

21. 难度：中等

已知在函数f（x）=mx³-x的图象上以N（1，n）为切点的切线的倾斜角为．
（1）求m、n的值；
（2）是否存在最小的正整数k，使得不等式f（x）≤k-1995对于x∈[-1，3]恒成立？如果存在，请求出最小的正整数k；如果不存在，请说明理由．