2009年湖南省长沙一中高考数学三模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

已知实数a，b，则“ab≥2”是“a²+b²≥4”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

直线y=k（x+1）与圆x²+y²=1的位置关系是（ ）
A．相离
B．相切
C．相交
D．与k的取值有关

4. 难度：中等

函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）+b的图象如图，则f（x）的解析式可以为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

正四棱锥P-ABCD的五个顶点在同一个球面上，若其底面边长为4，侧棱长为，则此球的表面积为（ ）
A．18π
B．36π
C．72π
D．9π

6. 难度：中等

设斜率为的直线l与双曲线交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是双曲线的两个焦点，则该双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知函数的定义域是[a，b]（a，b∈Z），值域是[0，1]，那么满足条件的整数数对（a，b）共有（ ）
A．2个
B．3个
C．5个
D．无数个

8. 难度：中等

如果关于x的方程有且仅有一个正实数解，则实数a的取值范围是（ ）
A．（-∞，0）
B．{a|a≤0或a=2}
C．（0，+∞）
D．{a|a≥0或a=-2}

9. 难度：中等

在正整数数列中，由1开始依次按如下规则将某些数染成红色．先染1，再染2个偶数2、4；再染4后面最邻近的3个连续奇数5、7、9；再染9后面最邻近的4个连续偶数10、12、14、16；再染16后面最邻近的5个连续奇数17、19、21、23、25．按此规则一直染下去，得到一红色子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…．则在这个红色子数列中，由1开始的第2009个数是（ ）
A．3948
B．3953
C．3955
D．3958

二、填空题

10. 难度：中等

已知，则f[f（-1）]=    ．

11. 难度：中等

若椭圆的左焦点在抛物线y²=2px的准线上，则p的值为     ．

12. 难度：中等

B（不等式选讲）关于x不等式|ax+2|＜6的解集为（-1，2），则a值=    ．

13. 难度：中等

已知关于x、y的二元一次不等式组，求函数z=x+2y+2的最大值和最小值．

14. 难度：中等

如图，PA为圆的切线，A为切点，PBC为割线，∠APC的平分线交AB于点D，交AC于点E．
求证：（1）AD=AE；（2）AB•AE=AC•DB．

15. 难度：中等

设函数f（x），g（x）的定义域分别为D_J，D_E．且D_J⊊D_E，若对于任意x∈D_J，都有g（x）=f（x），则称函数g（x）为f（x）在D_E上的一个延拓函数．设f（x）=xlnx（x＞0），g（x）为f（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上的一个延拓函数，且g（x）是奇函数，则g（x）=    ；设f（x）=2^x-1（x≤0），g（x）为f（x）在R上的一个延拓函数，且g（x）是偶函数，则g（x）=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

某办公室有5位教师，只有3台电脑供他们使用，教师是否使用电脑是相互独立的．
（1）若上午某一时段A、B、C三位教师需要使用电脑的概率分别是、、，求这一时段A、B、C三位教师中恰有2位教师使用电脑的概率；
（2）若下午某一时段每位教师需要使用电脑的概率都是，求在这一时段该办公室电脑使用的平均台数和无法满足需求的概率．

17. 难度：中等

已知角α、β满足：5sinα+5cosα=8，且α∈（0，），β∈（，），求cos（α+β）的值．

18. 难度：中等

如图，△ABC中，∠C=90^o，∠A=45^o，DC⊥平面ABC，DC=6，G为△ABC的重心M为GD上的一点，∠MCG=45^o．
（1）求证AB⊥DG；
（2）求二面角G-MC-B的大小．

19. 难度：中等

已知f（x）=kxlnx，g（x）=-x²+ax-（k+1）（k＞0）．
（Ⅰ）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（Ⅱ）对一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）证明：对一切x∈（0，+∞），都有成立．

20. 难度：中等

如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽20 m，要求通行车辆限高5 m，隧道全长2.5 km，隧道的两侧是与地面垂直的墙，高度为3米，隧道上部拱线近似地看成半个椭圆．

（1）若最大拱高h为6 m，则隧道设计的拱宽l是多少？
（2）若要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，则应如何设计拱高h和拱宽l？
（已知：椭圆+=1的面积公式为S=πab，柱体体积为底面积乘以高．）
（3）为了使隧道内部美观，要求在拱线上找两个点M、N，使它们所在位置的高度恰好是限高5m，现以M、N以及椭圆的左、右顶点为支点，用合金钢板把隧道拱线部分连接封闭，形成一个梯形，若l=30m，梯形两腰所在侧面单位面积的钢板造价是梯形顶部单位面积钢板造价的倍，试确定M、N的位置以及h的值，使总造价最少．

21. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a₁=5，a₂=5，a_n+1=a_n+6a_n-1（n≥2，n∈N^*）．
（1）求证：当n≥2时，{a_n+2a_n-1}和{a_n-3a_n-1}均为等比数列；
（2）求证：当k为奇数时，；
（3）求证：（n∈N^*）．