2010年北京大学附中高考数学考前猜题试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

若复数z满足（i是虚数单位），则z=    ．

2. 难度：中等

已知集合A={y|y=，x∈R}；B={y|y=log₂（x-1），x∈R}，则A∩B=    ．

3. 难度：中等

已知数列{a_n}前n项和为S_n，若S_n=2ⁿ-1，则a₈=    ．

4. 难度：中等

已知，则=    ．

5. 难度：中等

一组数据中每个数据都减去80构成一组新数据，则这组新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来一组数的方差为    ．

6. 难度：中等

定义在R上的偶函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．若f（a）≥f（2），则实数a的取值范围是    ．

7. 难度：中等

函数（常数α∈Z）为偶函数，且在（0，+∞）上是单调递减函数，则α的值为    ．

8. 难度：中等

从集合A={-2，-1，1，2，3}中任取两个元素m、n（m≠n），则方程所对应的曲线表示焦点在y轴上的双曲线的概率是    ．

9. 难度：中等

已知、为互相垂直的单位向量，，，且与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（-∪．

10. 难度：中等

若直线ax+by=1与圆x²+y²=1相切，则实数ab的取值范围是    ．

11. 难度：中等

定义：若对定义域D上的任意实数x都有f（x）=0，则称函数f（x）为D上的零函数．
根据以上定义，“f（x）是D上的零函数且g（x）是D上的零函数”为“f（x）与g（x）的积函数是D上的零函数”的    条件．

12. 难度：中等

已知P为抛物线y²=4x上一点，设P到准线的距离为d₁，P到点A（1，4）的距离为d₂，则d₁+d₂的最小值为    ．

13. 难度：中等

已知函数是偶函数，则函数图象与y轴交点的纵坐标的最大值是    ．

14. 难度：中等

三位同学合作学习，对问题“已知不等式xy≤ax²+2y²对于x∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立，求a的取值范围”提出了各自的解题思路．
甲说：“可视x为变量，y为常量来分析”．
乙说：“寻找x与y的关系，再作分析”．
丙说：“把字母a单独放在一边，再作分析”．
参考上述思路，或自已的其它解法，可求出实数a的取值范围是    ．

二、解答题

15. 难度：中等

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四边形A₁ABB₁为菱形，∠A₁AB=60°，四边形BCC₁B₁为矩形，若AB⊥BC且AB=4，BC=3
（1）求证：平面A₁CB⊥平面ACB₁；
（2）求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积．

16. 难度：中等

已知二次函数f（x）=ax²+x，若对任意x₁、x₂∈R，恒有2f（）≤f（x₁）+f（x₂）成立，不等式f（x）＜0的解集为A．
（1）求集合A；
（2）设集合B={x||x+4|＜α}，若集合B是集合A的子集，求a的取值范围．

17. 难度：中等

已知z₁=3i，z₂=3，z₃=sinα+icosα，α∈[0，2π），z₁，z₂，z₃在平面上对应的点为A，B，C．
（1）若|AC|=|BC|，求α的值；
（2）若，求的值．

18. 难度：中等

（1）在长度为a的线段AB上任意作一点C，求|CB|≤|CA|的概率；
（2）若将长度为a的线段截成三段，则三段长能围成一个三角形的概率有多大．

19. 难度：中等

如图，已知椭圆的焦点和上顶点分别为F₁、F₂、B，我们称△F₁BF₂为椭圆C的特征三角形．如果两个椭圆的特征三角形是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，且三角形的相似比即为椭圆的相似比．
（1）已知椭圆和判断C₂与C₁是否相似，如果相似则求出C₂与C₁的相似比，若不相似请说明理由；
（2）写出与椭圆C₁相似且半短轴长为b的椭圆C_b的方程，并列举相似椭圆之间的三种性质（不需证明）；
（3）已知直线l：y=x+1，在椭圆C_b上是否存在两点M、N关于直线l对称，若存在，则求出函数f（b）=|MN|的解析式．

20. 难度：中等

已知公差大于零的等差数列a_n的前n项和为S_n，且满足：a₃•a₄=117，a₂+a₅=22．
（1）求数列a_n的通项公式a_n；
（2）若数列b_n是等差数列，且，求非零常数c；
（3）若（2）中的b_n的前n项和为T_n，求证：．

21. 难度：中等

如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC．
（1）求证：FB=FC；
（2）求证：FB²=FA•FD；
（3）若AB是△ABC外接圆的直径，且∠EAC=120°，BC=6，求AD的长．

22. 难度：中等

D．选修4-5：不等式证明选讲
对于任意实数a（a≠0）和b，不等式|a+b|+|a-b|≥|a|（|x-1|+|x-2|）恒成立，试求实数x的取值范围．

23. 难度：中等

（矩阵与变换）
设a，b∈R，若矩阵把直线l：2x+y-7=0变换为另一直线l′：9x+y-91=0，求ab的值．

24. 难度：中等

（坐标系与参数方程）
从极点O作直线与另一直线ρcosθ=4相交于点M，在OM上取一点P，使OM•OP=12．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）设R为直线ρcosθ=4上任意一点，试求RP的最小值．

25. 难度：中等

已知数列a_n满足a₁=1，且4a_n+1-a_na_n+1+2a_n=9（n∈N^*）
（1）求a₁，a₂，a₃，a₄的值；
（2）由（1）猜想a_n的通项公式，并给出证明．

26. 难度：中等

为了缓解高考压力，某中学高三年级成立了文娱队，每位队员唱歌、跳舞至少会一项，其中会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设ξ为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且．
（1）求文娱队的人数；
（2）求ξ的分布列并计算Eξ．