2011年江苏省南京市金陵中学高考数学二模试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

集合A={x|x²+x-2≤0，x∈Z}，则集合A中所有元素之和为    ．

2. 难度：中等

如果实数p和非零向量与满足，则向量和    ．（填“共线”或“不共线”）．

3. 难度：中等

△ABC中，若sinA=2sinB，AC=2，则BC=    ．

4. 难度：中等

设f（x）=3ax-2a+1，a为常数．若存在x∈（0，1），使得f（x）=0，则实数a的取值范围是    ．

5. 难度：中等

若复数z₁=-1+ai，，a，b∈R，且z₁+z₂与z₁•z₂均为实数，则=    ．

6. 难度：中等

如图所示的流程图最后输出的n的值是    ．

7. 难度：中等

若实数m、n∈{-1，1，2，3}，且m≠n，则曲线表示焦点在y轴上的双曲线的概率是    ．

8. 难度：中等

已知下列结论：①x₁、x₂都是正数⇔，②：x₁、x₂、x₃都是正数⇔，

则由①②猜想：x₁、x₂、x₃、x₄都是正数⇔    ．

9. 难度：中等

某同学五次考试的数学成绩分别是120，129，121，125，130，则这五次考试成绩的方差是    ．

10. 难度：中等

如图，四边形ABCD为矩形，，BC=1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE，在圆弧DE上任取一点P，则直线AP与线段BC有公共点的概率是    ．

11. 难度：中等

用一些棱长为1cm的小正方体码放成一个几何体，图1为其俯视图，图2为其主视图，则这个几何体的体积最大是     cm³．

12. 难度：中等

下列是某厂1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据，由其散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是=-0.7x+，则=    ．

月  份x	1	2	3	4
用水量y	4.5	4	3	2.5

13. 难度：中等

已知xOy平面内一区域A，命题甲：点（a，b）∈（x，y）||x|+|y|≤1；命题乙：点（a，b）∈A．
如果甲是乙的充分条件，那么区域A的面积的最小值是    ．

14. 难度：中等

设P是椭圆上任意一点，A和F分别是椭圆的左顶点和右焦点，则的最小值为    ．

二、解答题

15. 难度：中等

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=BB₁=1，AB₁=
（1）求证：平面AB₁C⊥平面B₁CB；    （2）求三棱锥A₁-AB₁C的体积．

16. 难度：中等

某化工企业2007年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．
（1）求该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用y（万元）；
（2）问为使该企业的年平均污水处理费用最低，该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备？

17. 难度：中等

如图，已知圆心坐标为的⊙M与x轴及直线均相切，切点分别为A、B，另一个圆⊙N与⊙M、x轴及直线均相切，切点分别为C、D．
（1）求⊙M和⊙N的方程；
（2）过点B作直线MN的平行线l，求直线l被⊙N截得的弦的长度．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=sinx-cosx，x∈R．
（1）求函数f（x）在[0，2π]内的单调递增区间；
（2）若函数f（x）在x=x处取到最大值，求f（x）+f（2x）+f（3x）的值；
（3）若g（x）=e^x（x∈r），求证：方程f（x）=g（x）在[0，+∞）内没有实数解．
（参考数据：ln2≈0.69，π≈3.14）

19. 难度：中等

已知函数（x∈R）的图象为曲线C．
（1）求过曲线C上任意一点的切线斜率的取值范围；
（2）若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围；
（3）证明：不存在与曲线C同时切于两个不同点的直线．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}的通项公式是a_n=2^n-1，数列{b_n}是等差数列，令集合A={a₁，a₂，…，a_n，…}，B={b₁，b₂，…，b_n，…}，n∈N^*．将集合A∪B中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为{c_n}．（1）若c_n=n，n∈N^*，求数列{b_n}的通项公式；（2）若A∩B=∅，数列{c_n}的前5项成等比数列，且c₁=1，c₉=8，求的正整数n的个数．

21. 难度：中等

已知直线y=2x+k被抛物线x²=4y截得的弦长AB为20，O为坐标原点．
（1）求实数k的值；
（2）问点C位于抛物线弧AOB上何处时，△ABC面积最大？

22. 难度：中等

甲、乙、丙三个同学一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生（可在高考中加分录取），两次考试过程相互独立．根据甲、乙、丙三个同学的平时成绩分析，甲、乙、丙三个同学能通过笔试的概率分别是0.6，0.5，0.4，能通过面试的概率分别是0.5，0.6，0.75．
（1）求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率；
（2）设经过两次考试后，能被该高校预录取的人数为ξ，求随机变量ξ的期望E（ξ）．

23. 难度：中等

如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BD的中点，AE的延长线交BC于F．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若△BEF的面积为S₁，四边形CDEF的面积为S₂，求S₁：S₂的值．

24. 难度：中等

已知直线l的参数方程：（t为参数）和圆C的极坐标方程：．
（Ⅰ）将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）判断直线l和圆C的位置关系．

25. 难度：中等

试求曲线y=sinx在矩阵MN变换下的函数解析式，其中M=，N=．

26. 难度：中等

用数学归纳法证明不等式：+++…+＞1（n∈N^*且n．1）．