2007-2008学年广东省华南师大附中高三综合测试数学试卷4（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

命题：“若a²+b²=0（a，b∈R），则a=b=0”的逆否命题是（ ）
A．若a≠b≠0（a，b∈R），则a²+b²≠0
B．若a=b≠0（a，b∈R），则a²+b²≠0
C．若a≠0且b≠0（a，b∈R），则a²+b²≠0
D．若a≠0或b≠0（a，b∈R），则a²+b²≠0

2. 难度：中等

已知=1-ni，其中m，n是实数，i是虚数单位，则m+ni的虚部为（ ）
A．1
B．2
C．i
D．2i

3. 难度：中等

若向量，与都是非零向量，则“++=（零向量）”是“∥（+）”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分与不必要条件

4. 难度：中等

与函数y=0.1^lg（2x-1）的图象相同的函数解析式是（ ）
A．y=2x-1（x＞）
B．y=
C．y=（x＞）
D．y=||

5. 难度：中等

已知直线l₁的方向向量为a=（1，3），直线l₂的方向向量b=（-1，k），若直线l₂经过点（0，5），且l₁⊥l₂，则直线l₂的方程为（ ）
A．x+3y-5=0
B．x+3y-15=0
C．x-3y+5=0
D．x-3y+15=0

6. 难度：中等

f（x）=2x³-6x²+a在[-2，2]上有最大值3，那么在[-2，2]上f（x）的最小值是（ ）
A．-5
B．-11
C．-29
D．-37

7. 难度：中等

为使方程cos²x-sinx+a=0在内有解，则a的取值范围是（ ）
A．-1≤a≤1
B．-1＜a≤1
C．-1≤a＜0
D．

8. 难度：中等

将正方形ABCD沿对角线BD折起，使平面ABD⊥平面CBD，E是CD的中点，则异面直线AE、BC所成角的正切值为（ ）
A．
B．
C．2
D．

二、填空题

9. 难度：中等

若直线2x+ay+3=0的倾斜角为120°，则a的值是    ．

10. 难度：中等

在一个水平放置的底面半径为cm的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为Rcm的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升Rcm，则R=    cm．

11. 难度：中等

在等比数列{a_n}中，已知a₁+a₂=90，a₃+a₄=60，则a₅+a₆=    ；数列{a_n}的前2n项和S_2n=    ．

12. 难度：中等

x+3y-2=0，则3^x+27^y+1的最小值为   

13. 难度：中等

在坐标平面内，由不等式组所确定的区域的面积为=    ．

14. 难度：中等

已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，AH为BC边上的高，以下结论：
①；
②；
③；
④．
其中正确的是    ．（写出所有你认为正确的结论的序号）

三、解答题

15. 难度：中等

已知数列{a_n}为等差数列，S_n为其前n项和，且a₂=3，4S₂=S₄．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证数列{2^a_n}是等比数列；
（3）求使得S_n+2＞2S_n的成立的n的集合．

16. 难度：中等

已知A、B、C三点的坐标分别为A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα），．
（1）若，求角α的值；
（2）若，求的值．

17. 难度：中等

一艘轮船在航行过程中的燃料费与它的速度的立方成正比例关系，其他与速度无关的费用每小时96元，已知在速度为每小时10公里时，每小时的燃料费是6元，要使行驶1公里所需的费用总和最小，这艘轮船的速度应确定为每小时多少公里？

18. 难度：中等

已知与曲线C：x²+y²-2x-2y+1=0相切的直线l分别交x轴、y轴于A（a，0）、B（0，b）两点（a＞2，b＞2），O为原点．
（1）求证：（a-2）（b-2）=2；
（2）求线段AB中点的轨迹方程；
（3）求△AOB面积的最小值．

19. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD，底面ABCD为直角梯形，AD‖BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3，点E在棱PA上，且PE=2EA．
（1）求异面直线PA与CD所成的角；
（2）求证：PC‖平面EBD；
（3）求二面角A-BE-D的大小的余弦值．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=-x³+ax²+b（a，b∈R）．
（1）若函数y=f（x）的图象上任意不同的两点的连线的斜率小于1，求证：．
（2）若x∈[0，1]，则函数y=f（x）的图象上的任意一点的切线的斜率为k，求证：成立的充要条件．