2011年浙江省金华市艾青中学高考数学模拟试卷2（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数的虚部为（ ）
A．
B．
C．-
D．

2. 难度：中等

已知α，β∈R，则“α=β”是“tanα=tanβ”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

在程序框图中，若x=5，则输出的i的值是（ ）

A．2
B．3
C．4
D．5

4. 难度：中等

若a＞0，b＞0，且a+b=1，则的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．2

5. 难度：中等

m、n是不同的直线，α、β是不重合的平面，下列命题为真命题的是（ ）
A．若m⊥α，n⊥α，则n⊥m
B．若m∥n，n⊂α，则m∥α
C．若α⊥β，m⊂α，则m⊥β
D．若m⊥α，m∥β，则α⊥β

6. 难度：中等

设双曲线-=1的一条渐进线l与圆+y²=1只有一个公共点，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．3
C．
D．

7. 难度：中等

在平面直角坐标系中，矩形OABC，O（0，0），A（2，0），C（0，1），将矩形折叠，使O点落在线段BC上，设折痕所在直线的斜率为k，则k的取值范围为（ ）
A．[0，1]
B．[0，2]
C．[-1，0]
D．[-2，0]

8. 难度：中等

点O在△ABC所在平面内，给出下列关系式：（1）；（2）；（3）；（4）．则点O依次为△ABC的（ ）
A．内心、外心、重心、垂心
B．重心、外心、内心、垂心
C．重心、垂心、内心、外心
D．外心、内心、垂心、重心

9. 难度：中等

已知下列四个命题：
①把y=2cos（3x+）的图象上每点的横坐标和纵坐标都变为原来的倍，再把图象向右平移单位，所得图象解析式为y=2sin（2x-）
②若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n
③在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，点P在AM上且满足等于-4．
④函数f（x）=xsinx在区间上单调递增，函数f（x）在区间上单调递减．
其中是真命题的是（ ）
A．①②④
B．①③④
C．③④
D．①③

10. 难度：中等

设，若对于任意x₁∈[0，1]，总存在x∈[0，1]，使得g（x）=f（x₁）成立，则a的取值范围是（ ）
A．
B．[4，+∞）
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

x、y满足约束条件：，则z=|x+y-5|的最小值是    ．

12. 难度：中等

若的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中的系数为    ．

13. 难度：中等

一个空间几何体的三视图如右图所示，其中主视图和侧视图都是半径为1的圆，且这个几何体是球体的一部分，则这个几何体的表面积为    ．

14. 难度：中等

若P（x，y）在椭圆外，则过P作椭圆的两条切线的切点为P₁，P₂，则切点弦P₁P₂所在直线方程是．那么对于双曲线则有如下命题：若P（x，y）在双曲线外，则过P作双曲线的两条切线的切点为P₁，P₂，则切点弦P₁P₂的所在直线方程是    ．

15. 难度：中等

某大学自主招生面试有50位学生参加，其屮数学与英语成绩采用5分制，设数学成绩为x，英语成绩为y，结果如下表：
则英语成绩y的数学期望为    ．

16. 难度：中等

给定2个长度为1且互相垂直的平面向量和，点C在以O为圆心的圆弧上运动，若=，其中x，y∈R，则（x-1）²+y²的最大值为    ．

17. 难度：中等

已知函数y=f（x）的定义域为R，当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，等式f（x）f（y）=f（x+y）恒成立．若数列{a_n}满足a₁=f（0），且f（a_n+1）=，则a₂₀₁₀的值为    ．

三、解答题

18. 难度：中等

已知函数g（x）=sinx-cosx，且f（x）=g′（x）（g（x）+cosx）
（Ⅰ）当时，f（x）函数的值域；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，求角C．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=a（a＞0），数列{b_n}满足b_n=a_na_n+1（n∈N^*）
（Ⅰ）若{a_n}是等差数列，且b₃=12，求数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）若{a_n}是等比数列，求数列{b_n}的前n项和S_n．
（Ⅲ）若{b_n}是公比为a-1的等比数列时，{a_n}能否为等比数列？若能，求出a的值；若不能，请说明理由．

20. 难度：中等

如图，在多面体ABCDE中，DB⊥平面ABC，AE∥DB，且△ABC是边长为2的等边三角形，AE=1，CD与平面ABDE所成角的正弦值为．
（1）在线段DC上是否存在一点F，使得EF⊥面DBC，若存在，求线段DF的长度，若不存在，说明理由；
（2）求二面角D-EC-B的平面角的余弦值．

21. 难度：中等

设椭圆C₁：的左、右焦点分别是F₁、F₂，下顶点为A，线段OA的中点为B（O为坐标原点），如图．若抛物线C₂：y=x²-1与y轴的交点为B，且经过F₁，F₂点．
（Ⅰ）求椭圆C₁的方程；
（Ⅱ）设M（0，），N为抛物线C₂上的一动点，过点N作抛物线C₂的切线交椭圆C₁于P、Q两点，求△MPQ面积的最大值．

22. 难度：中等

设，g（x）=x³-x²-3．
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（2）如果存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；
（3）如果对任意的，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围．