2013年河南省三门峡市高三第一次大练习数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x|ax-1=0}，B={x|1＜log₂x≤2，x∈N}，且A∩B=A，则a的所有可能值组成的集合是（ ）
A．Φ
B．
C．
D．

2. 难度：中等

i是虚数单位，等于（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

如图的程序运行的结果是（ ）

A．2¹²
B．2¹¹
C．2¹⁰
D．2⁹

4. 难度：中等

某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员的每次罚球命中率为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

设F₁，F₂分别是双曲线的左、右焦点．若双曲线上存在点A，使∠F₁AF₂=90°，且|AF₁|=3|AF₂|，则双曲线离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知a=，则展开式中的常数项为（ ）
A．-160π³
B．-120π³
C．2π
D．160π³

7. 难度：中等

下列命题中正确的结论个数是（ ）
①“p且q为真”是“p或q为真”的必要不充分条件
②命题“若ab=0，则a=0或b=0”的否命题是“若ab≠0，则a≠0且b≠0”
③∃x∈R，使．
A．0
B．1
C．2
D．3

8. 难度：中等

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c的导数为f′（x），f′（0）＞0，对于任意实数x都有f（x）≥0，则的最小值为（ ）
A．3
B．
C．2
D．

9. 难度：中等

在△ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则C等于（ ）
A．30°
B．150°
C．30°或150°
D．60°或120°

10. 难度：中等

在平面直角坐标系中，若定点A（1，2）与动点P（x，y）满足向量在向量上的投影为，则点P的轨迹方程是（ ）
A．x-2y+5=0
B．x+2y-5=0
C．x+2y+5=0
D．x-2y-5=0

11. 难度：中等

若点O和点F（-2，0）分别是双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

已知函数f（x）=，x∈R，其中a＞0，若函数f（x）在区间（-2，0）内恰有两个零点，则a的取值范围为（ ）
A．（0，）
B．（0，1）
C．（，1）
D．（1，+∞）

二、填空题

13. 难度：中等

设x，y满足约束条件，若目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为8，则a+b的最小值为    ．

14. 难度：中等

在航天员进行的一项太空试验中，先后要实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，则实施程序的编排方法共有    种（用数字作答）．

15. 难度：中等

已知函数f（x）=e^x-2x+a有零点，则a的取值范围是    ．

16. 难度：中等

给出下列四个命题：
①函数的图象沿x轴向右平移个单位长度所得图象的函数表达式是y=cos2x．
②函数y=lg（ax²-2ax+1）的定义域是R，则实数a的取值范围为（0，1）．
③单位向量、的夹角为60°，则向量2-的模为．
④用数学归纳法证明（n+1）（n+2）…（n+n）=2ⁿ•1•3…（2n-1）（n∈N^*）时，从k到k+1的证明，左边需增添的因式是2（2k+1）．
其中正确的命题序号是    （写出所有正确命题的序号）．

三、解答题

17. 难度：中等

在△ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量，，且∥，B为锐角．
（1）求角B的大小；
（2）设b=2，求△ABC的面积S_△ABC的最大值．

18. 难度：中等

甲有一个放有3个红球、2个白球、1个黄球共6个球的箱子，乙也一个放有3个红球、2个白球、1个黄球共6个球的箱子．
（Ⅰ）若甲、乙两人各自从自己的箱子中任取一球比颜色，规定同色时为甲胜，异色时乙胜，求甲获胜的概率；
（Ⅱ）若甲在自己的箱子里任意取球，取后不放回，每次只取一只，直到取到红球为止，求甲取球次数ξ的数学期望．

19. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，a_n+1=3S_n+1，n∈N^*．
（Ⅰ）写出a₂，a₃的值，并求出数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{na_n}的前n项和T_n．

20. 难度：中等

已知椭圆C₁：+=1（a＞b＞0）的长轴长为4，离心率为，F₁、F₂分别为其左右焦点．一动圆过点F₂，且与直线x=-1相切．
（Ⅰ）（ⅰ）求椭圆C₁的方程； （ⅱ）求动圆圆心C轨迹的方程；
（Ⅱ）在曲线上C有两点M、N，椭圆C₁上有两点P、Q，满足MF₂与共线，与共线，且•=0，求四边形PMQN面积的最小值．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-3．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）证明：对一切x∈（0，+∞），都有成立．

22. 难度：中等

（选修4-4：极坐标系与参数方程）
在极坐标系中，求圆上的点到直线的距离的取值范围．

23. 难度：中等

已知函数f（x）=|2x+1|+|2x-3|．
（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜|a-1|的解集非空，求实数a的取值范围．