2010年北京大学附中高三数学提高练习试卷（3）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知，且sinθ+cosθ=a，其中a∈（0，1），则关于tanθ的值，在以下四个答案中，可能正确的是（ ）
A．-3
B．3或
C．
D．-3或

2. 难度：中等

若对x∈（-∞，-1]时，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．（-2，3）
B．（-3，3）
C．（-2，2）
D．（-3，4）

3. 难度：中等

如果x，y∈R，且，那么（ ）
A．x=y
B．x＞y
C．x＜y
D．x≤y

4. 难度：中等

若实数x，y满足xy＞0，则的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

5. 难度：中等

下列四个命题：
①圆（x+2）²+（y+1）²=4与直线x-2y=0相交，所得弦长为2；
②直线y=kx与圆（x-cosθ）²+（y-sinθ）²=1恒有公共点；
③若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为108π；
④若棱长为的正四面体的顶点都在同一球面上，则该球的体积为．
其中，正确命题的序号为    ．写出所有正确命的序号）

三、解答题

6. 难度：中等

已知函数，数列{a_n}满足：2a_n+1-2a_n+a_n+1a_n=0且a_n≠0．数列{b_n}中，b₁=f（0）且b_n=f（a_n-1）
（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列{|b_n|}的前n项和T_n；
（3）是否存在自然数n，使得（2）中的T_n∈（480，510）．若存在，求出所有的n；若不存在，请说明理由．

7. 难度：中等

已知椭圆方程为x²+=1，射线y=2x（x≥0）与椭圆的交点为M，过M作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于A、B两点（异于M）．
（1）求证直线AB的斜率为定值；
（2）求△AMB面积的最大值．

8. 难度：中等

定义在（0，+∞）上的函数．
（1）求函数f（x）的最大值；（2）对于任意正实数a、b，设．