2010年河北省唐山一中高考数学冲刺试卷1（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x|y=}，B={y|y=}，则A∩B=（ ）
A．∅
B．R
C．（-∞，2]
D．[0，2]

2. 难度：中等

若cos130°=a，则tan50°=（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n=a_n+1+2（n≥1），则a₁₀₀=（ ）
A．199
B．-199
C．197
D．-197

4. 难度：中等

已知i是虚数单位，（1+2i）z₁=-1+3i，z₂=1+（1+i）¹⁰，z₁、z₂在复平面上对应的点分别为A、B，O为坐标原点，则=（ ）
A．33
B．-33
C．32
D．32

5. 难度：中等

已知函数f（x）=xlnx² （x＜-1）的导函数为g（x），则g（x）的反函数是（ ）
A．y=（x＜2）
B．y=（x＞2）
C．y=-（x＞2）
D．y=-（x＜2）

6. 难度：中等

已知定点F₁，F₂和动点P满足||=2，||=4，则点P的轨迹为（ ）
A．椭圆
B．圆
C．直线
D．线段

7. 难度：中等

已知线性约束条件：，则z=x-2y的最大值和最小值分别是（ ）
A．0和-4
B．2和-4
C．2和-
D．1和0

8. 难度：中等

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c的图象与x轴有两个交点，且与 x轴、y轴的交点都在负半轴上（如图），则一定有（ ）

A．b∈（-∞，0）
B．b∈（）
C．b∈（0，+∞）
D．b∈（，+∞）

9. 难度：中等

已知a、b、c是三条不同的直线，命题“a∥b且a⊥c⇒b⊥c”是正确的，如果把a、b、c中的两个或三个换成平面，在所得的命题中，真命题有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

10. 难度：中等

椭圆（a＞b＞0）的短轴长是常数，当两准线间的距离取得最小值时，椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

对于函数f（x）=x³cos3（x+），下列说法正确的是（ ）
A．f（x）是奇函数且在（）上递减
B．f（x）是奇函数且在（）上递增
C．f（x）是偶函数且在（）上递减
D．f（x）是偶函数且在（）上递增

12. 难度：中等

已知A、B是球O表面上两点，AB=8．过AB作两个平面α、β，使球心O在平面α上，且O到平面β的距离为2．如果二面角α-AB-β=60°，那么A、B两点的球面距离为（ ）
A．2π
B．π
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

某篮球运动员在3分线内、外投蓝的命中率分别为0.7和0.4，在一场比赛中，如果该运动员在3分线内、外分别投蓝10次和5次，则该运动员得分的期望是    分．（注：在3分线内投中1球得2分，在3分线外投中1球得3分）

14. 难度：中等

在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含x^-1项为第    项．

15. 难度：中等

已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过F且斜率为的直线l与右准线的交点P在该双曲线的渐近线上，则此双曲线的两条渐近线的夹角为    ．

16. 难度：中等

给出下列命题：
①若y=f（x）是定义在R上的函数，则f'（x）=0是函数y=f（x）在x=x处取得极值的必要不充分条件．
②用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，则其中数字2，3相邻的偶数有18个．
③已知函数y=2sin（ωx+θ）（ω＞0，0＜θ＜π）为偶函数，其图象与直线y=2的交点的横坐标为x₁，x₂，若|x₁-x₂|的最小值为π，则ω的值为2，θ的值为．
④若P为双曲线x²-=1上一点，F₁、F₂分别为双曲线的左右焦点，且|PF₂|=4，则|PF₁|=2或6．
其中正确命题的序号是    （把所有正确命题的序号都填上）．

三、解答题

17. 难度：中等

在△ABC中，sinA+cosA=，sinB-cosB=，BC=2．
（Ⅰ）求∠C；
（Ⅱ）求△ABC的面积．

18. 难度：中等

某高等学校自愿献血的50位学生的血型分布的情况如下表：

血型	A	B	AB	O
人数	20	10	5	15

（Ⅰ）从这50位学生中随机选出2人，求这2人血型都为A型的概率；
（Ⅱ）从这50位学生中随机选出2人，求这2人血型相同的概率；
（Ⅲ）现有一位血型为A型的病人需要输血，要从血型为A，O的学生中随机选出2人准备献血，记选出A型血的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．

19. 难度：中等

已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，侧面与底面所成的二面角为60°，E、F分别是侧棱PA、PD的中点．求：
（Ⅰ）直线BE与侧棱PC所成的角的大小；
（Ⅱ）AC与截面BCFE所成的角的大小．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=e^axlnx在定义域内是增函数，求实数a的取值范围．

21. 难度：中等

椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为．点P（1，）、A、B在椭圆E上，且（m∈R）；
（Ⅰ）求椭圆E的方程及直线AB的斜率；
（Ⅱ）求证：当△PAB的面积取得最大值时，原点O是△PAB的重心．

22. 难度：中等

如图，已知曲线C：，．从C上的点Q_n（x_n，y_n）作x轴的垂线，交C_n于点P_n，再从点P_n作y轴的垂线，交C于点Q_n+1（x_n+1，y_n+1），设x₁=1，a_n=x_n+1-x_n，b_n=y_n-y_n+1．
（Ⅰ）求Q₁，Q₂的坐标；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）记数列{a_n•b_n}的前n项和为S_n，求证：．