2010年北京四中高考数学调研试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知平面向量=（1，2），=（-2，m），且∥，则=（ ）
A．（-5，-10）
B．（-4，-8）
C．（-3，-6）
D．（-2，-4）

2. 难度：中等

设全集U=R，集合M={x|x²＞9}，N={-1＜x＜4}，则M∩（∁_UN）等于（ ）
A．{x|x＜-3}
B．{x|x＜-3或x≥4}
C．{x|x≥4}
D．{x|-3≤x＜4}

3. 难度：中等

函数y=+是（ ）
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数

4. 难度：中等

已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₃=7a₁，则数列{a_n}的公比q的值为（ ）
A．2
B．3
C．2或-3
D．2或3

5. 难度：中等

函数y=sin2x的图象经过适当变换可以得到y=cos2x图象，则这种变换可以是（ ）
A．沿x轴向右平移个单位
B．沿x轴向左平移个单位
C．沿x轴向左平移个单位
D．沿x轴向右平移个单位

6. 难度：中等

已知函数y=f（x）在定义域[-4，6]图象如图，记y=f（x）y=f′（x），则不等式f′（x）≥0的解集为（ ）
A．[-，1]∪[，6]
B．[-3，0]∪[，5]
C．[-4，-]∪[1，]
D．[-4，3]∪[0，1]∪[5，6]

7. 难度：中等

已知两个正数a、b的等差中项是5，则a²、b²的等比中项的最大值为（ ）
A．100
B．50
C．25
D．10

8. 难度：中等

已知sin2α=-，a∈（-，0），则sinα+cosα=（ ）
A．
B．-
C．-
D．

9. 难度：中等

给出如下三个命题：
①若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；
②命题“若x≥2且y≥3，则x+y≥5”的否命题为“若x＜2且y＜3，则x+y＜5”；
③四个实数a、b、c、d依次成等比数列的必要而不充分条件是ad=bc；
④在△ABC中，“A＞45°”是“”的充分不必要条件．
其中不正确的命题的个数是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1

10. 难度：中等

已知不等式（x+y）（）≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值是（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8

11. 难度：中等

设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=5x+y取得最大值时点的坐标是（ ）
A．（，）
B．（，）
C．（0，1）
D．（1，0）

12. 难度：中等

已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（-∞，0）时不等式f（x）+xf′（x）＜0成立，若a=3^0.3•f（3^0.3），b=（log_π3）•f（log_π3），c=（）•f（）．则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c
B．c＞a＞b
C．c＞b＞a
D．a＞c＞b

二、填空题

13. 难度：中等

当a∈{-1，，1，3}时，幂函数y=x^a的图象不可能经过第     象限．

14. 难度：中等

过原点作曲线y=e^x的切线，切点坐标为     ．

15. 难度：中等

在亚丁湾某海域有一执行任务的甲军舰获悉，其正东方向距离20海里处，有一艘货轮遇海盗袭击等待营救，甲舰南偏西30°距离10海里处有一艘乙舰，甲、乙两舰共同实施救援行动，此时乙舰与货轮的距离是    海里．

16. 难度：中等

等差数列{a_n}中首项为a₁，公差为d，前n项和为S_n，给出下列四个命题：
①数列为等比数列；
②若a₁₀=3，S₇=-7，则S₁₃=13；
③；
④若d＞0，则S_n一定有最大值．
其中正确命题的序号是     ．

三、解答题

17. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2b•cosA=c•cosA+a•cosC．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=，b+c=4，求△ABC的面积．

18. 难度：中等

若关于x的不等式[x-（3-a）]（x-2a）＜0的解集是A，y=ln（-x²+3x-2）的定义域是B，若A∪B=A，求实数a的取值范围．

19. 难度：中等

已知ω＞0，向量=（1，2cosωx），=（sin2ωx，-cosωx）．设函数f（x）=•，且f（x）图象上相邻的两条对称轴的距离是．
（Ⅰ）求数ω的值；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[，]上的最大值和最小值．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}前n项的和为S_n，且满足S_n=1-na_n（n=1，2，3，…）．
（Ⅰ）求a₁、a₂的值；
（Ⅱ）求a_n．

21. 难度：中等

某市为提高城市品位，计划对市内现有全部出租车进行更新换代，在引进新车型的同时淘汰等量的旧车型，现决定2010年1月份更新a辆，以后每个月更新的车辆数比前一个月多a辆，两年时间更新完毕．
（I）问该市的出租车共有多少辆？
（Ⅱ）若从第二个月起，每个月以10%的增长速度进行更新，至少需要多少个月才能更新完毕？
（参考数据：1.1³⁶≈28.10，1.1³⁶≈30.91，1.1³⁷≈34.00，1.1³⁸≈37.40）

22. 难度：中等

已知函数f（x）=elnx+（其中e是自然对数的底数，k为正数）
（I）若f（x）在x=x处取得极值，且x是f（x）的一个零点，求k的值；
（II）若k∈[1，e]，求f（x）在区间[，1]上的最大值；
（III）设函数g（x）=f（x）-kx在区间（，e）上是减函数，求k的取值范围．