2009-2010学年北京101中学高三（下）统考数学试卷4（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知p：直线a与平面α内无数条直线垂直，q：直线a与平面α垂直．则p是q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

2. 难度：中等

已知a是实数，若i是虚数单位，且为纯虚数，则a的值是（ ）
A．-1
B．1
C．
D．-

3. 难度：中等

已知函数，则的值是（ ）
A．9
B．-9
C．
D．

4. 难度：中等

已知函数f（x）=sinwx+coswx（w＞0），y=f（x）的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，则f（x）的单调递增区间是（ ）
A．[kπ-，kπ+]，k∈Z
B．[kπ+，kπ+]，k∈Z
C．[kπ-，kπ+]，k∈Z
D．[kπ+，kπ+]，k∈Z

5. 难度：中等

从甲、乙等10个同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有（ ）
A．70种
B．112种
C．140种
D．168种

6. 难度：中等

如图：△ABC内接于⊙O，AB=AC，直线MN切⊙O于点C，BE∥MN交AC于点E，若AB=6，BC=4，则AE的长为（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知实数x，y满足，如果目标函数z=x-y的最小值为-1，则实数m等于（ ）
A．7
B．5
C．4
D．3

8. 难度：中等

如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为（n≥2），每个数是它下一行左右相邻两数的和，如，，，…，则第10行第4个数（从左往右数）为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

在极坐标系中，圆ρ=2cosθ的圆心的极坐标是     ，它与方程（ρ＞0）所表示的图形的交点的极坐标是     ．

10. 难度：中等

如图是一个空间几何体的三视图，如果直角三角形的直角边长均为1，那么几何体的体积为    ，该几何体的外接球的表面积为    ．

11. 难度：中等

已知直线ax+by+c=0与圆x²+y²=1相交于A、B两点，且|AB|=1，则=    ．

12. 难度：中等

程序框图（即算法流程图）如图所示，其输出结果是    ．

13. 难度：中等

设a∈{1，2，3，4}，b∈{2，4，8，12}，则函数f（x）=x³+ax-b在区间[1，2]上有零点的概率为    ．

14. 难度：中等

f（x）=ax³-3x+1对于x∈[-1，1]总有f（x）≥0成立，则a=    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知向量=（sinA，cosA），=（，-1），•=1，且A为锐角．
（1）求角A的大小；
（2）求函数f（x）=cos2x+4cosAsinx（x∈R）的值域．

16. 难度：中等

如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=a，又PA⊥平面ABCD，PA=4．
（Ⅰ）若在边BC上存在一点Q，使PQ⊥QD，求a的取值范围；
（Ⅱ）当边BC上存在唯一点Q，使PQ⊥QD时，求二面角A-PD-Q的余弦值．

17. 难度：中等

某班级举行一次知识竞赛活动，活动分为初赛和决赛两个阶段、现将初赛答卷成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表．

分数（分数段）	频数（人数）	频率
[60，70）	①	0.16
[70，80）	22	②
[80，90）	14	0.28
[90，100）	③	④
合计	50	1

（1）填充频率分布表中的空格（在解答中直接写出对应空格序号的答案）；
（2）决赛规则如下：参加决赛的每位同学依次口答4道小题，答对2道题就终止答题，并获得一等奖．如果前三道题都答错，就不再答第四题．某同学进入决赛，每道题答对的概率P的值恰好与频率分布表中不少于80分的频率的值相同．
①求该同学恰好答满4道题而获得一等奖的概率；
②记该同学决赛中答题个数为X，求X的分布列及数学期望．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=x，函数g（x）=λf（x）+sinx是区间[-1，1]上的减函数．
（I）求λ的最大值；
（II）若g（x）＜t²+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，求t的取值范围；
（Ⅲ）讨论关于x的方程的根的个数．

19. 难度：中等

在平面直角坐标系xoy中，已知三点A（-1，0），B（1，0），C（-1，），以A、B为焦点的椭圆经过点C．
（I）求椭圆的方程；
（II）设点D（0，1），是否存在不平行于x轴的直线l与椭圆交于不同两点M、N，使？若存在，求出直线l斜率的取值范围；若不存在，请说明理由；
（III）若对于y轴上的点P（0，n）（n≠0），存在不平行于x轴的直线l与椭圆交于不同两点M、N，使，试求n的取值范围．

20. 难度：中等

已知数列a_n的前n项和，n∈N₊．
（1）求a_n的通项公式；
（2）设n∈N₊，集合A_n={y|y=a_i，i≤n，i∈N₊}，B={y|y=4m+1，m∈N₊}．现在集合A_n中随机取一个元素y，记y∈B的概率为p（n），求p（n）的表达式．