2010-2011学年江苏省连云港市赣榆高级中学高三（下）摸底数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

复数倒数的虚部为    ．

2. 难度：中等

用如下方法从1004名工人中选取50代表：先用简单随机抽样从1004人中剔除4人，剩下的1000人再按系统抽样的方法选取50人．则工人甲被抽到的概率为     ．

3. 难度：中等

扇形OAB半径为2，圆心角∠AOB=60°，点D是弧AB的中点，点C在线段OA上，且．则的值为     ．

4. 难度：中等

观察下列不等式：≥，≥，≥，…，由此猜测第n个不等式为    ．（n∈N*）

5. 难度：中等

已知函数f（x）=x•log₂x+3（x＞0），直线与函数f（x）相切于点A（1，m）．则直线l的方程为    ．（写成直线方程一般式）

6. 难度：中等

如图，（是根据所输入的x值计算y值的一个算法程序，若x依次取数列
（n∈N*）的项，则所得y值中的最小值为    ．

7. 难度：中等

锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．边长a，b是方程的两个根，且，则c边的长是     ．

8. 难度：中等

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分别是AB₁，BC₁上的点，且满足AM=BN，
有下列4个结论：①MN⊥AA₁；②MN∥AC；③MN∥平面A₁B₁C₁D₁；④MN⊥BB₁D₁D．其中正确的结论的序号是    ．

9. 难度：中等

已知x＞0，y＞0，且，若x+2y＞m²+2m恒成立，则实数m的取值范围是    ．

10. 难度：中等

已知集合A={x|2x-a≤0}，B={x|4x-b＞0}，a，b∈N，且（A∩B）∩N={2，3}，由整数对（a，b）组成的集合记为M，则集合M中元素的个数为    ．

11. 难度：中等

一只蚂蚁在边长分别为的三角形区域内随机爬行，则其恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率为     ．

12. 难度：中等

把一个长、宽、高分别为25cm、20cm、5cm的长方体木盒从一个正方形窗口穿过，那么正方形窗口的边长至少应为    ．

13. 难度：中等

设函数f（x）=x•2^x+x，A为坐标原点，A_n为函数y=f（x）图象上横坐标为n（n∈N^*）的点，向量，i=（1，0），设θ_n为a_n与i的夹角，则=    ．

14. 难度：中等

已知椭圆，F₁，F₂是左右焦点，l是右准线，若椭圆上存在点P，使|PF₁|是P到直线l的距离的2倍，则椭圆离心率的取值范围是    ．

二、解答题

15. 难度：中等

已知平面直角坐标系中△ABC顶点的分别为，B（0，0），C（c，0），其中c＞0．
（1）若c=4m，求sin∠A的值；
（2）若，B=，求△ABC周长的最大值．

16. 难度：中等

已知定点A、B间的距离为2，以B为圆心作半径为2的圆，P为圆上一点，线段AP的垂直平分线l与直线PB交于点M，当P在圆周上运动时，点M的轨迹记为曲线C．
（1）建立适当的坐标系，求曲线C的方程，并说明它是什么样的曲线；
（2）试判断l与曲线C的位置关系，并加以证明．

17. 难度：中等

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁=3a，BC=2a，D是BC的中点，F是C₁C上一点，且CF=2a．
（1）求证：B₁F⊥平面ADF；
（2）求三棱锥D-AB₁F的体积；
（3）试在AA₁上找一点E，使得BE∥平面ADF．

18. 难度：中等

某工厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据以往的经验知道，其次品率P与日产量x（件）之间近似满足关系：（其中c为小于96的正整常数）
（注：次品率P=，如P=0.1表示每生产10件产品，有1件次品，其余为合格品．）已知每生产一件合格的仪器可以盈利A元，但每生产一件次品将亏损A/2元，故厂方希望定出合适的日产量．
（1）试将生产这种仪器每天的赢利T（元）表示为日产量x（件的函数）；
（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？

19. 难度：中等

数列{a_n}的各项均为正数，S_n为其前n项和，对于任意n∈N^*，总有a_n，S_n，a_n²成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}的前n项和为T_n，且，求证：对任意实数x∈（1，e]（e是常数，e=2.71828…）和任意正整数n，总有T_n＜2；
（3）正数数列{c_n}中，a_n+1=（c_n）ⁿ⁺¹（n∈N^*），求数列{c_n}中的最大项．

20. 难度：中等

已知函数和函数g（x）=lnx，记F（x）=f（x）+g（x）．
（1）当时，若f（x）在[1，2]上的最大值是f（2），求实数a的取值范围；
（2）当a=1时，判断F（x）在其定义域内是否有极值，并予以证明；
（3）对任意的，若F（x）在其定义域内既有极大值又有极小值，试求实数a的取值范围．