2010-2011学年北京市东城区东直门中学高三数学提高测试试卷2（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

定义在R上的函数y=f（x），满足f（3-x）=f（x），f′（x）＜0，若x₁＜x₂，且x₁+x₂＞3则有（ ）
A．f（x₁）＜f（x₂）
B．f（x₁）＞f（x₂）
C．f（x₁）=f（x₂）
D．不确定

2. 难度：中等

若椭圆的离心率，右焦点为F（c，0），方程ax²+2bx+c=0的两个实数根分别是x₁和x₂，则点
P（x₁，x₂）到原点的距离为（ ）
A．
B．
C．2
D．

3. 难度：中等

有一矩形纸片ABCD，按图所示方法进行任意折叠，使每次折叠后点B都落在边AD上，将B的落点记为B′，其中EF为折痕，点F也可落在边CD上，过B′作B′H∥CD交EF于点H，则点H的轨迹为（ ）

A．圆的一部分
B．椭圆的一部分
C．双曲线的一部分
D．抛物线的一部分

4. 难度：中等

已知f（x）=x²-2x，则满足条件的点（x，y）所形成区域的面积为（ ）
A．π
B．
C．2π
D．4π

5. 难度：中等

若f（x）的导数为f′（x），且满足f′（x）＜f（x），则f（3）与e³f（0）的大小关系是（ ）
A．f（3）＞e³f（0）
B．f（3）=e³f（0）
C．f（3）＜e³f（0）
D．不能确定

二、填空题

6. 难度：中等

已知向量=（1，2），=（2，x）如果与所成的角为锐角，则x的取值范围是    ．

7. 难度：中等

如图，在正方形ABCD中，已知AB=2，M为BC的中点，若N为正方形内（含边界）任意一点，则的最大值是    ．

8. 难度：中等

定义：若存在常数k，使得对定义域D内的任意两个x₁，x₂（x₁≠x₂），均有|f（x₁）-f（x₂）|≤k|x₁-x₂|成立，则称函数f（x）在定义域D上满足利普希茨条件．若函数满足利普希茨条件，则常数k的最小值为    ．

9. 难度：中等

设函数y=f（x）在（a，b）上的导函数为f'（x），f'（x）在（a，b）上的导函数为f''（x），若在（a，b）上，f''（x）＜0恒成立，则称函数f（x）在（a，b）上为“凸函数”．已知．
（Ⅰ）若f（x）为区间（-1，3）上的“凸函数”，则实数m=   
（Ⅱ）若当实数m满足|m|≤2时，函数f（x）在（a，b）上总为“凸函数”，则b-a的最大值为    ．

三、解答题

10. 难度：中等

已知函数f（x）=x³-3ax（a∈R），g（x）=lnx．
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）在区间[-2，2]上的最小值；
（Ⅱ）若在区间[1，2]上f（x）的图象恒在g（x）图象的上方，求a的取值范围；
（Ⅲ）设h（x）=|f（x）|，x∈[-1，1]，求h（x）的最大值F（a）的解析式．

11. 难度：中等

已知数列{a_n}中a₁=2，点（a_n，a_n+1） 在函数f（x）=x²+2x的图象上，n∈N^*．数列{b_n}的前n项和为S_n，且满足
b₁=1，当n≥2时，S_n²=b_n（S_n-）
（1）证明数列{lg（1+a_n）}是等比数列；
（2）求S_n；
（3）设T_n=（1+a₁）（1+a₂）…（1+a_n）c_n=，求T_n•（c₁+c₂+c₃+…+c_n）的值．

12. 难度：中等

椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右顶点的坐标分别为A（-2，0），B（2，0），离心率e=
（Ⅰ）求椭圆C的方程：
（Ⅱ）设椭圆的两焦点分别为F₁，F₂，点P是其上的动点，
（1）当△PF₁F₂内切圆的面积最大时，求内切圆圆心的坐标；
（2）若直线l：y=k（x-1）（k≠0）与椭圆交于M、N两点，证明直线AM与直线BN的交点在直线x=4上．

13. 难度：中等

已知椭圆C₁和抛物线C₂有公共焦点F（1，0），C₁的中心和C₂的顶点都在坐标原点，过点M（4，0）的直线l与抛物线C₂分别相交于A，B两点．
（Ⅰ）写出抛物线C₂的标准方程；
（Ⅱ）若，求直线l的方程；
（Ⅲ）若坐标原点O关于直线l的对称点P在抛物线C₂上，直线l与椭圆C₁有公共点，求椭圆C₁的长轴长的最小值．