2013年广东省深圳市高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

化简sin2013°的结果是（ ）
A．sin33°
B．cos33°
C．-sin33°
D．-cos33°

2. 难度：中等

已知i是虚数单位，则复数i¹³（1+i）=（ ）
A．1+i
B．1-i
C．-1+i
D．-1-i

3. 难度：中等

如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积、体积分别是（ ）

A．32π、
B．16π、
C．12π、
D．8π、

4. 难度：中等

双曲线x²-my²=1的实轴长是虚轴长的2倍，则m等于（ ）
A．
B．
C．2
D．4

5. 难度：中等

等差数列{a_n}中，a₁，a₂，a₃分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a₁，a₂，a₃中的任何两个数不在下表的同一列．

	第一列	第二列	第三列
第一行	2	3	5
第二行	8	6	14
第三行	11	9	13

则a₄的值为（ ）
A．18
B．15
C．12
D．20

6. 难度：中等

我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”（如2013是“六合数”），则“六合数”中首位为2的“六合数”共有（ ）
A．18个
B．15个
C．12个
D．9个

7. 难度：中等

函数y=ln|x-1|的图象与函数y=-2cosπx（-2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（ ）
A．8
B．6
C．4
D．2

8. 难度：中等

定义函数y=f（x），x∈D，若存在常数C，对任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使得，则称函数f（x）在D上的几何平均数为C．已知f（x）=2^x，x∈[1，2]，则函数f（x）=2^x在[1，2]上的几何平均数为（ ）
A．
B．2
C．
D．4

二、填空题

9. 难度：中等

若，则a₃=    ．

10. 难度：中等

容量为60的样本的频率分布直方图共有n（n＞1）个小矩形，若其中一个小矩形的面积等于其余n-1个小矩形面积和的，则这个小矩形对应的频数是    ．

11. 难度：中等

已知Ω={（x，y）|x+y≤6，x≥0，y≥0}，A={（x，y）|x≤4，y≥0，x-y²≥0}，若向区域Ω上随机投一点P，则点P落入区域A的概率是    ．

12. 难度：中等

若执行图中的框图，输入N=13，则输出的数等于    ．（注：“S=0”，即为“S←0”或为“S：=0”．）

13. 难度：中等

设集合A={（x，y）|（x-4）²+y²=1}，B={（x，y）|（x-t）²+（y-at+2）²=1}，如果命题“∃t∈R，A∩B≠∅”是真命题，则实数a的取值范围是    ．

14. 难度：中等

（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C₁的参数方程为（t为参数），曲线C₂的极坐标方程为ρsinθ-ρcosθ=3，则C₁与C₂交点在直角坐标系中的坐标为    ．

15. 难度：中等

如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E（E在A，O之间），EF⊥BC，垂足为F．若，则AB=6，CF•CB=5，则AE=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数，点A、B分别是函数y=f（x）图象上的最高点和最低点．
（1）求点A、B的坐标以及的值；
（2）设点A、B分别在角α、β的终边上，求tan（α-2β）的值．

17. 难度：中等

一次考试中，五名同学的数学、物理成绩如下表所示：

学生	A1	A2	A3	A4	A5
数学（x分）	89	91	93	95	97
物理（y分）	87	89	89	92	93

（1）请在如图的直角坐标系中作出这些数据的散点图，并求出这些数据的回归方程；
（2）要从4名数学成绩在90分以上的同学中选2人参加一项活动，以X表示选中的同学的物理成绩高于90分的人数，求随机变量X的分布列及数学期望E（X）的值．

18. 难度：中等

如图1，⊙O的直径AB=4，点C、D为⊙O上两点，且∠CAB=45°，∠DAB=60°，F为的中点．沿直径AB折起，使两个半圆所在平面互相垂直（如图2）．
（1）求证：OF∥平面ACD；
（2）求二面角C-AD-B的余弦值；
（3）在上是否存在点G，使得FG∥平面ACD？若存在，试指出点G的位置，并求直线AG与平面ACD所成角的正弦值；若不存在，请说明理由．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=a（a≠0），（其中p为非零常数，n∈N^*）．
（1）判断数列是不是等比数列？
（2）求a_n；
（3）当a=1时，令，S_n为数列{b_n}的前n项和，求S_n．

20. 难度：中等

已知两点F₁（-1，0）及F₂（1，0），点P在以F₁、F₂为焦点的椭圆C上，且|PF₁|、|F₁F₂|、|PF₂|构成等差数列．
（1）求椭圆C的方程；
（2）如图，动直线l：y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点，点M，N是直线l上的两点，且F₁M⊥l，F₂N⊥l．求四边形F₁MNF₂面积S的最大值．

21. 难度：中等

已知，g（x）=2lnx+bx，且直线y=2x-2与曲线y=g（x）相切．
（1）若对[1，+∞）内的一切实数x，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（2）当a=1时，求最大的正整数k，使得对[e，3]（e=2.71828…是自然对数的底数）内的任意k个实数x₁，x₂，…，x_k都有f（x₁）+f（x₂）+…+f（x_k-1）≤16g（x_k）成立；
（3）求证：．