2012年江苏省常州中学高考冲刺复习单元卷：函数与数列2（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

等差数列{a_n}的前n项和为S_n（n=1，2，3，…），当首项a₁和公差d变化时，若a₅+a₈+a₁₁是一个定值，则S_n（n=1，2，3，…）中为定值的是    ．

2. 难度：中等

在等比数列{a_n}中，若a₇•a₉=4，a₄=1，则a₁₂的值是    ．

3. 难度：中等

已知数列{a_n}是以-2为公差的等差数列，S_n是其前n项和，若S₇是数列{S_n}中的唯一最大项，则数列{a_n}的首项a₁的取值范围是     ．

4. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，a₁+a₄+a₇=39，a₃+a₆+a₉=27，则数列{a_n}的前9项之和S₉等于    ．

5. 难度：中等

若数列{a_n}满足，若，则a₂₀₀₈=    ．

6. 难度：中等

如图甲是第七届国际数学教育大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中OA₁=A₁A₂=A₂A₃=…=A₇A₈=1，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，记OA₁，OA₂，…OA_n，…的长度构成数列{a_n}，则此数列的通项公式为a_n=    ．

7. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，＜-1，若它的前n项和S_n有最大值，则使S_n取得最小正数的n=    ．

8. 难度：中等

S_n为等差数列{a_n}的前n项和，若，则=    ．

9. 难度：中等

已知数列则a₁+a₂+a₃+a₄+…+a₉₉+a₁₀₀=    ．

10. 难度：中等

已知数列，将{a_n}的各项排成三角形状：
a₁
a₂     a₃     a₄
a₅   a₆     a₇   a₈ 
…
记A（m，n）表示第m行第n列的项，则A（10，8）=   
①
②
③        
④．

11. 难度：中等

已知数列{a_n}的通项公式是a_n=2^n-1，数列{b_n}的通项公式是b_n=3n，令集合A={a₁，a₂，…，a_n，…}，B={b₁，b₂，…，b_n，…}，n∈N^*．将集合A∪B中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为{c_n}．则数列{c_n}的前28项的和S₂₈=    ．

12. 难度：中等

设a₁，a₂，…，a_n是各项不为零的n（n≥4）项等差数列，且公差d≠0．若将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列，则所有数对所组成的集合为    ．

13. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足log₂（S_n+1）=n+1，求数列{a_n}的通项公式．

14. 难度：中等

数列{a_n}的首项a₁∈（0，1）．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设，比较b_n，b_n+1的大小，其中n为正整数．

15. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a₁=1，且点P（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在直线x-y+1=0上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若函数，求函数f（n）的最小值；
（3）设表示数列{b_n}的前项和．试问：是否存在关于n的整式g（n），使得S₁+S₂+S₃+…+S_n-1=（S_n-1）•g（n）对于一切不小于2的自然数n恒成立？若存在，写出g（n）的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由．

16. 难度：中等

已知，P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂）是函数y=f（x）图象上两点，且线段P₁P₂中点P的横坐标是．
（1）求证点P的纵坐标是定值； 
（2）若数列{a_n}的通项公式是（m∈N^*），n=1，2…m），求数列{a_n}的前m项和S_m； 
（3）在（2）的条件下，若m∈N^*时，不等式恒成立，求实数a的取值范围．

17. 难度：中等

已知数列{a_n}和{b_n}满足：a₁=λ，，其中λ为实数，n为正整数．
（Ⅰ）对任意实数λ，证明数列{a_n}不是等比数列；
（Ⅱ）试判断数列{b_n}是否为等比数列，并证明你的结论；
（Ⅲ）设0＜a＜b，S_n为数列{b_n}的前n项和．是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜S_n＜b？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．

18. 难度：中等

第一行是等差数列0，1，2，3，…，2008，将其相邻两项的和依次写下作为第二行，第二行相邻两项的和依次写下作为第三行，依此类推，共写出2008行．
0，1，2，3，…，2005，2006，2007，2008
1，3，5，…，4011，4013，4015
4，8，…，8024，8028
…
（1）由等差数列性质知，以上数表的每一行都是等差数列．记各行的公差组成数列{d_i}（i=1，2，3…，2008）．求通项公式d_i；
（2）各行的第一个数组成数列{b_i}（1，2，3，…，2008），求数列{b_i}所有各项的和．