2011-2012学年湖南省永州市蓝山二中高三第七次联考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数z=（i为虚数单位）所对应的点在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

设集合，m=sin20°，则下列关系中正确的是（ ）
A．m⊆A
B．m∉A
C．{m}∈A
D．{m}⊊A

3. 难度：中等

设命题p：∀x∈R，x²≥xq：∃x∈R，x²≥x，则下列判断正确的是（ ）
A．p假q真
B．p真q假
C．p真q真
D．p假q假

4. 难度：中等

下列函数中，既是周期为π的周期函数又是偶函数的是（ ）
A．y=10^x
B．y=tan
C．y=sin2
D．y=|cosx|

5. 难度：中等

某公司2005～2010年的年利润x（单位：百万元）与年广告支出y（单位：百万元）的统计资料如表所示：

年份	2005	2006	2007	2008	2009	2010
利润x	12.2	14.6	16	18	20.4	22.3
支出y	0.62	0.74	0.81	0.89	1	1.11

根据统计资料，则（ ）
A．利润中位数是16，x与y有正线性相关关系
B．利润中位数是18，x与y有负线性相关关系
C．利润中位数是17，x与y有正线性相关关系
D．利润中位数是17，x与y有负线性相关关系

6. 难度：中等

双曲线=1（a，b＞0）的渐近线与圆（x-3）²+y²=3相切，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．2
D．6

7. 难度：中等

设函数在区间（0，+∞）内有零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．（0，+∞）
B．（-∞，1]
C．[1，+∞）
D．[2，+∞）

8. 难度：中等

定义设实数x，y满足约束条件，则z=min{2x+y，x-y}的取值范围为（ ）
A．[-2，]
B．[-，-]
C．[-2，3]
D．[-3，]

二、解答题

9. 难度：中等

在极坐标系中，A（1，）、B（2，）两点的距离为    ．

10. 难度：中等

设平面向量=（1，2），=（-2，y）若∥，则|3+|等于    ．

11. 难度：中等

一空间几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是     cm³．

12. 难度：中等

若{a_n}为等差数列，S_n是其前n项和．且，则tana₆=    ．

13. 难度：中等

直线l：x-y=0与椭圆+y²=1相交A、B两点，点C是椭圆上的动点，则△ABC面积的最大值为    ．

14. 难度：中等

（坐标系与参数方程选做题） 若直线与曲线（ϕ为参数，a＞0）有两个公共点A，B，且|AB|=2，则实数a的值为    ；在此条件下，以直角坐标系的原点为极点，x轴正方向为极轴建立坐标系，则曲线C的极坐标方程为    ．

15. 难度：中等

对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），定义：设f″（x）是函数y=f（x）的导数y=f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x，则称点（x，f（x））为函数y=f（x）的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现为条件，求
（1）函数f（x）=x³-3x²+3x对称中心为    ．
（2）若函数g（x）=x³-x²+3x-+，则g（）+g（）+g（）+g（）+…+g（）=    ．

16. 难度：中等

已知函数f（x）=asinx+bcos（x-）的图象经过点（，），（，0）．
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数f（x）在[0，π]上的单调递增区间．

17. 难度：中等

如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=3，沿对角线BD把△ABD折起，使A移到A₁点，过点A₁作A₁O⊥平面BCD，垂足O恰好落在CD上．
（1）求证：BC⊥A₁D；
（2）求直线A₁B与平面BCD所成角的正弦值．

18. 难度：中等

某校高三某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如图，据此解答如下问题：

（1）求分数在[50，60）的频率及全班的人数；
（2）求分数在[80，90）之间的频数，并计算频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高；
（3）若要从分数在[80，100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份在[90，100]之间的概率．

19. 难度：中等

工厂生产某种产品，次品率p与日产量x（万件）间的关系为P=（c为常数，且0＜c＜6），已知每生产1件合格产品盈利3元，每出现1件次品亏损1.5元．
（1）将日盈利额y（万元）表示为日产量x（万件）的函数；
（2）为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？（注：次品率=）

20. 难度：中等

已知f （x）=m^x（m为常数，m＞0且m≠1）．设f （a₁），f （a₂），…，f （a_n），…（n∈N）是首项为m²，公比为m的等比数列．
（1）求证：数列{a_n}是等差数列；
（2）若b_n=a_n f （a_n），且数列{b_n}的前n项和为S_n，当m=3时，求S_n；
（3）若c_n=f（a_n）lgf （a_n），问是否存在m，使得数列{c_n}中每一项恒不小于它后面的项？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

已知动圆G过点F（，0），且与直线l：x=-相切，动圆圆心G的轨迹为曲线E．曲线E上的两个动点A（x₁，y₁）和B（x₂，y₂）．
（1）求曲线E的方程；
（2）已知=-9（O为坐标原点），探究直线AB是否恒过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过，请说明理由．
（3）已知线段AB的垂直平分线交x轴于点C，其中x₁≠x₂且x₁+x₂=4．求△ABC面积的最大值．