2012年湖南省高考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合M={-1，0，1}，N={x|x²=x}，则M∩N=（ ）
A．{-1，0，1}
B．{0，1}
C．{1}
D．{0}

2. 难度：中等

复数z=i（i+1）（i为虚数单位）的共轭复数是（ ）
A．-1-i
B．-1+i
C．1-i
D．1+i

3. 难度：中等

命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是（ ）
A．若α≠，则tanα≠1
B．若α=，则tanα≠1
C．若tanα≠1，则α≠
D．若tanα≠1，则α=

4. 难度：中等

某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x_i，y_i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是（ ）
A．y与x具有正的线性相关关系
B．回归直线过样本点的中心（，）
C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg
D．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg

6. 难度：中等

已知双曲线C：-=1的焦距为10，点P （2，1）在C 的渐近线上，则C的方程为（ ）
A．-=1
B．-=1
C．-=1
D．-=1

7. 难度：中等

设 a＞b＞1，C＜0，给出下列三个结论：
①＞；
②a^c＜b^c；  
③log_b（a-c）＞log_a（b-c）．
其中所有的正确结论的序号（ ）
A．①
B．①②
C．②③
D．①②③

8. 难度：中等

在△ABC中，AC=，BC=2  B=60°则BC边上的高等于（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

设定义在R上的函数f（x）是最小正周期2π的偶函数，f′（x）是函数f（x）的导函数，当x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1； 当x∈（0，π） 且x≠时，（x-）f′（x）＞0，则函数y=f（x）-sinx在[-2π，2π]上的零点个数为（ ）
A．2
B．4
C．5
D．8

二、解答题

10. 难度：中等

在极坐标系中，曲线C₁：ρ（cosθ+sinθ）=1与曲线C₂：ρ=a（a＞0）的一个交点在极轴上，则a=    ．

11. 难度：中等

某制药企业为了对某种药用液体进行生物测定，需要优选培养温度，实验范围定为29℃～63℃．精确度要求±1℃．用分数法进行优选时，能保证找到最佳培养温度需要最少实验次数为    ．

12. 难度：中等

不等式x²-5x+6≤0的解集为    ．

13. 难度：中等

如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为    ．
（注：方差+…+，其中为x₁，x₂，…，x_n的平均数）

14. 难度：中等

如果执行如图所示的程序框图，输入x=4.5，则输出的数i=    ．

15. 难度：中等

如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP=3，则=    ．

16. 难度：中等

对于n∈N^*，将n表示为n=+…+，当i=k时，a_i=1，当0≤i≤k-1时，a_i为0或1．定义b_n如下：在n的上述表示中，当a，a₁，a₂，…，a_k中等于1的个数为奇数时，b_n=1；否则b_n=0．
（1）b₂+b₄+b₆+b₈=    ；
（2）记c_m为数列{b_n}中第m个为0的项与第m+1个为0的项之间的项数，则c_m的最大值是    ．

17. 难度：中等

某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．

一次购物量	1至4件	5至8件	9至12件	13至16件	17件以上
顾客数（人）	x	30	25	y	10
结算时间（分钟/人	1	1.5	2	2.5	3

已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%．
（Ⅰ）确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
（Ⅱ）求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．（将频率视为概率）

18. 难度：中等

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数g（x）=f（x-）-f（x+）的单调递增区间．

19. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD．
（Ⅰ）证明：BD⊥PC；
（Ⅱ）若AD=4，BC=2，直线PD与平面PAC所成的角为30°，求四棱锥P-ABCD的体积．

20. 难度：中等

某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%．预计以后每年年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为a_n万元．
（Ⅰ）用d表示a₁，a₂，并写出a_n+1与a_n的关系式；
（Ⅱ）若公司希望经过m（m≥3）年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值（用m表示）．

21. 难度：中等

在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为的椭圆E的一个焦点为圆C：x²+y²-4x+2=0的圆心．
（Ⅰ）求椭圆E的方程
（Ⅱ）设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积为的直线l₁，l₂．当直线l₁，l₂都与圆C相切时，求P的坐标．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=e^x-ax，其中a＞0．
（1）若对一切x∈R，f（x）≥1恒成立，求a的取值集合；
（2）在函数f（x）的图象上取定点A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））（x₁＜x₂），记直线AB的斜率为K，证明：存在x∈（x₁，x₂），使f′（x）=K恒成立．