2012年福建省高考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数（2+i）²等于（ ）
A．3+4i
B．5+4i
C．3+2i
D．5+2i

2. 难度：中等

已知集合M={1，2，3，4}，N={-2，2}，下列结论成立的是（ ）
A．N⊆M
B．M∪N=M
C．M∩N=N
D．M∩N={2}

3. 难度：中等

已知向量=（x-1，2），=（2，1），则⊥的充要条件是（ ）
A．x=-
B．x=-1
C．x=5
D．x=0

4. 难度：中等

一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（ ）
A．球
B．三棱锥
C．正方体
D．圆柱

5. 难度：中等

已知双曲线-=1的右焦点为（3，0），则该双曲线的离心率等于（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出s值等于（ ）
A．-3
B．-10
C．0
D．-2

7. 难度：中等

直线x+-2=0与圆x²+y²=4相交于A，B两点，则弦AB的长度等于（ ）
A．2
B．2
C．
D．1

8. 难度：中等

函数f（x）=sin（x-）的图象的一条对称轴是（ ）
A．x=
B．x=
C．x=-
D．x=-

9. 难度：中等

设f（x）=，g（x）=，则f（g（π））的值为（ ）
A．1
B．0
C．-1
D．π

10. 难度：中等

若直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的最大值为（ ）
A．-1
B．1
C．
D．2

11. 难度：中等

数列{a_n}的通项公式a_n=ncos，其前n项和为S_n，则S₂₀₁₂等于（ ）
A．1006
B．2012
C．503
D．0

12. 难度：中等

已知f（x）=x³-6x²+9x-abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0．现给出如下结论：
①f（0）f（1）＞0；
②f（0）f（1）＜0；
③f（0）f（3）＞0；
④f（0）f（3）＜0．
其中正确结论的序号是（ ）
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④

二、解答题

13. 难度：中等

在△ABC中，已知∠BAC=60°，∠ABC=45°，BC=，则AC=    ．

14. 难度：中等

一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人．按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是    ．

15. 难度：中等

已知关于x的不等式x²-ax+2a＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是    ．

16. 难度：中等

某地图规划道路建设，考虑道路铺设方案，方案设计图中，点A，B，C表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用，要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小．例如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的路线图如图1，则最优设计方案如图2，此时铺设道路的最小总费用为10．

现给出该地区可铺设道路的线路图如图3，则铺设道路的最小总费用为    ．

17. 难度：中等

在等差数列{a_n}和等比数列{b_n}中，a₁=b₁=1，b₄=8，{a_n}的前10项和S₁₀=55．
（Ⅰ）求a_n和b_n；
（Ⅱ）现分别从{a_n}和{b_n}的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率．

18. 难度：中等

某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：

单价x（元）	8	8.2	8.4	8.6	8.8	9
销量y（件）	90	84	8.3	80	75	68

（I）求回归直线方程=bx+a，其中b=-20，a=-b；
（II）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（I）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入-成本）

19. 难度：中等

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2，M为棱DD₁上的一点．
（1）求三棱锥A-MCC₁的体积；
（2）当A₁M+MC取得最小值时，求证：B₁M⊥平面MAC．

20. 难度：中等

某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．
（1）sin²13°+cos²17°-sin13°cos17°
（2）sin²15°+cos²15°-sin15°cos15°
（3）sin²18°+cos²12°-sin18°cos12°
（4）sin²（-18°）+cos²48°-sin²（-18°）cos48°
（5）sin²（-25°）+cos²55°-sin²（-25°）cos55°
（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．

21. 难度：中等

如图，等边三角形OAB的边长为，且其三个顶点均在抛物线E：x²=2py（p＞0）上．
（1）求抛物线E的方程；
（2）设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=-1相较于点Q．证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点．

22. 难度：中等

已知函数，且在上的最大值为，
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断函数f（x）在（0，π）内的零点个数，并加以证明．