2012年广东省揭阳市高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

集合，则（ ）
A．i∈A
B．i²∈A
C．i³∈A
D．i⁴∉A

2. 难度：中等

已知倾斜角为α的直线l与直线x-2y+2=0平行，则tan2α的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时f（x）=3^x+m（m为常数），则f（-log₃5）的值为（ ）
A．4
B．-4
C．6
D．-6

4. 难度：中等

双曲线的一个焦点到它的渐近线的距离为（ ）
A．1
B．
C．
D．2

5. 难度：中等

“a=2”是“函数f（x）=ax-2^x有零点”的．（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

6. 难度：中等

如图，已知ABCDEF是边长为1的正六边形，则的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知向量，且，若变量x，y满足约束条件则z的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

8. 难度：中等

已知函数f（x）=x|1-x|（x∈R），则不等式的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

9. 难度：中等

设 i是虚数单位，若复数为纯虚数，则实数a的值为    ．

10. 难度：中等

设S_n是等差数列{a_n}的前n项和，且a₁=1，a₅=9，则S₆=    ．

11. 难度：中等

近年来，随着以煤炭为主的能源消耗大幅攀升、机动车保有量急剧增加，我国许多大城市灰霾现象频发，造成灰霾天气的“元凶”之一是空气中的pm2.5（直径小于等于2.5微米的颗粒物）．右图是某市某月（按30天计）根据对“pm2.5”24小时平均浓度值测试的结果画成的频率分布直方图，若规定空气中“pm2.5”24小时平均浓度值不超过0.075毫克/立方米为达标，那么该市当月有    天“pm2.5”含量不达标．

12. 难度：中等

甲、乙两人从4门课程中各选修2门．则甲．乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有    种．

13. 难度：中等

某几何体的三视图如图示，已知其主视图的周长为6，则该几何体体积的最大值为    ．

14. 难度：中等

（坐标系与参数方程选做题） 直线被圆（θ为参数，θ∈[0，2π））所截得的弦长为    ．

15. 难度：中等

（几何证明选讲选做题）如图，从圆O外一点P引圆的切线PC和割线PBA，已知PC=2PB，，则AC的长为    ．

16. 难度：中等

已知函数f（x）=sinx+cos（π-x），x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的最大值和最小值；
（3）若，求sinα+cosα的值．

17. 难度：中等

某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数ξ依次为1，2，…，8，其中ξ≥5为标准A，ξ≥3为标准B，产品的等级系数越大表明产品的质量越好，已知某厂执行标准B生产该产品，且该厂的产品都符合相应的执行标准．
（1）从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
3   5   3   3   8   5   5   6   3   4
6   3   4   7   5   3   4   8   5   3
8   3   4   3   4   4   7   5   6   7
该行业规定产品的等级系数ξ≥7的为一等品，等级系数5≤ξ＜7的为二等品，等级系数3≤ξ＜5的为三等品，试分别估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率；
（2）已知该厂生产一件该产品的利润y（单位：元）与产品的等级系数ξ的关系式为：，从该厂生产的产品中任取一件，其利润记为X，用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求X的分布列和数学期望．

18. 难度：中等

已知函数，x=2是f（x）的一个极值点．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若当x∈[1，+∞）时，恒成立，求a的取值范围．

19. 难度：中等

如图①边长为1的正方形ABCD中，点E、F分别为AB、BC的中点，将△BEF剪去，将△AED、△DCF分别沿DE、DF折起，使A、C两点重合于点P得一三棱锥如图②示．
（1）求证：PD⊥EF；
（2）求三棱锥P-DEF的体积；
（3）求DE与平面PDF所成角的正弦值．

20. 难度：中等

已知定点A（-3，0），MN分别为x轴、y轴上的动点（M、N不重合），且AN⊥MN，点P在直线MN上，．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）设点Q是曲线x²+y²-8x+15=0上任一点，试探究在轨迹C上是否存在点T？使得点T到点Q的距离最小，若存在，求出该最小距离和点T的坐标，若不存在，说明理由．

21. 难度：中等

已知，．（n∈N^*，a为常数）
（1）若，求证：数列是等比数列；
（2）在（1）条件下，求证：．