2011年上海市闵行区七宝中学高考数学模拟试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

函数的定义域为    ．

2. 难度：中等

已知集合A={（x，y）|x+2y-1=0}，B={（x，y）|x-2ay-a=0}，若A∩B=∅，则a的值是    ．

3. 难度：中等

若是单位矩阵，则a-b=    ．

4. 难度：中等

已知z为复数，若，则|（1+i）z|=    ．

5. 难度：中等

在的展开式中x²项的系数为    ．

6. 难度：中等

若关于x，y，z的三元一次方程组有唯一解，则θ的取值的集合是    ．

7. 难度：中等

地球的半径为R，在北纬45°东经30°有一座城市A，在北纬45°东经120°有一座城市B，则坐飞机从A城市飞到B城市的最短距离是     （飞机的飞行高度忽略不计）．

8. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的各项均不为零，且公差d≠0，若是一个与n无关的常数λ，则λ=    ．

9. 难度：中等

已知一随机变量ξ的分布列如下表，则随机变量ξ的方差Dξ=    ．

ξ		4	8
P（ξ）

10. 难度：中等

在极坐标系中，点，C为曲线ρ=2cosθ的对称中心，则三角形ABC面积等于    ．

11. 难度：中等

若框图所给程序运行的结果为S=90，那么判断框中应填入的关于k的判断条件是    ．

12. 难度：中等

若函数y=f（x）存在反函数y=f^-1（x），且函数的图象过点，则函数y=f^-1（x）-（arcsinx+arccosx）的图象一定过点    ．

13. 难度：中等

用符号（x]表示小于x的最大整数，如（π]=3，（-1.2]=-2．有下列命题：
①若函数f（x）=（x]-x，x∈R，则f（x）的值域为[-1，0）；
②若x∈（1，4），则方程有三个根；
③若数列{a_n}是等差数列，则数列{（a_n]}也是等差数列；
④若，则（x]•（y]=2的概率为．
其中，所有正确命题的序号是     ．

14. 难度：中等

设f（x）=cosax+bx+2^cx（x∈R），a，b，c∈R且为常数．若存在一公差大于0的等差数列{x_n}（n∈N^*），使得{f（x_n）}为一公比大于1的等比数列，请写出满足条件的一组a，b，c的值    ．（答案不唯一，一组即可）

二、选择题

15. 难度：中等

若直线l的一个法向量，则直线l的一个方向向量和倾斜角α分别为（ ）
A．
B．
C．
D．

16. 难度：中等

在△ABC中，“cosA•cosB•cosC＜0”是“△ABC为钝角三角形”的（ ）
A．充分必要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分又不必要条件

17. 难度：中等

如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（ ）
A．2+
B．
C．
D．1+

18. 难度：中等

已知数据x₁，x₂，x₃，…，x_n是上海普通职工n（n≥3，n∈N^*）个人的年收入，设这n个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上世界首富的年收入x_n+1，则这n+1个数据中，下列说法正确的是（ ）
A．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变
B．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大
C．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变
D．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变

三、解答题

19. 难度：中等

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=1，∠BAC=90°，且异面直线A₁B与B₁C₁所成的角等于60°，设AA₁=a．
（1）求a的值；
（2）求直线B₁C₁到平面A₁BC的距离．

20. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且满足．
（1）求角A大小；
（2）若b+c=3，求△ABC的面积的最大值．

21. 难度：中等

为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．
（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．

22. 难度：中等

如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F₁，F₂为顶点的三角形的周长为．一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF₁和PF₂与椭圆的交点分别为A、B和C、D．
（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；
（Ⅱ）设直线PF₁、PF₂的斜率分别为k₁、k₂，证明k₁•k₂=1；
（Ⅲ）是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．

23. 难度：中等

一青蛙从点A（x，y）开始依次水平向右和竖直向上跳动，其落点坐标依次是A_i（x_i，y_i）（i∈N^*），（如图所示，A（x，y）坐标以已知条件为准），S_n表示青蛙从点A到点A_n所经过的路程．
（1）若点A（x，y）为抛物线y²=2px（p＞0）准线上一点，点A₁，A₂均在该抛物线上，并且直线A₁A₂经过该抛物线的焦点，证明S₂=3p．
（2）若点A_n（x_n，y_n）要么落在y=x所表示的曲线上，要么落在y=x²所表示的曲线上，并且，试写出（不需证明）；
（3）若点A_n（x_n，y_n）要么落在所表示的曲线上，要么落在所表示的曲线上，并且A（0，4），求S_n的表达式．