2011年湖南省六校高考数学模拟试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设复数z满足z（1-2i）=4+2i（i为虚数单位），则|z|为（ ）
A．1
B．2
C．
D．

2. 难度：中等

已知命题：p：∃x∈R，x²+1＜2x；命题q：若mx²-mx-1＜0恒成立，则-4＜m＜0，那么（ ）
A．￢p是假命题
B．q是真命题
C．“p或q”为假命题
D．“p且q”为真命题

3. 难度：中等

将三棱锥P-ABC的六条棱涂上三种不同的颜色，要求共端点的棱不能涂相同颜色，则不同的涂色方案有（ ）
A．1种
B．3种
C．6种
D．9种

4. 难度：中等

若一几何体的正视图与侧视图均为边长是1的正方形，且其体积为，则该几何体的俯视图可以是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

设x₁，x₂是方程ln|x-2|=m（m为实常数）的两根，则x₁+x₂的值为（ ）
A．4
B．2
C．-4
D．与m有关

6. 难度：中等

已知正项等比数列{a_n}，a₁=2，又b_n=log₂a_n，且{b_n}的前n项和为T_n，当且仅当n=7时T_n最大，则数列{a_n}的公比q的取值范围是（ ）
A．＜p＜
B．
C．q＜或q＞
D．q＞或q＜

7. 难度：中等

已知F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，A是椭圆上一动点，圆C与F₁A的延长线、F₁F₂的延长线以及线段AF₂相切，若M（t，0）为一个切点，则（ ）
A．t=2
B．t＞2
C．t＜2
D．t与2的大小关系不确定

8. 难度：中等

设函数f（x）的定义域为D，如果存在正实数k，使对任意x∈D，都有x+k∈D，且f（x+k）＞f（x）恒成立，则称函数f（x）在D上的“k阶增函数”．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，x＞0时，f（x）=|x-a|-a，其中a为正常数，若f（x）为R上的“2阶增函数”，
则实数a的取值范围是（ ）
A．（0，2）
B．（0，1）
C．（0，）
D．（0，）

二、解答题

9. 难度：中等

已知在的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则这个展开式中x⁸的系数是    ．

10. 难度：中等

如图是边长为2的正方形，以正方形中心为顶点，且分别过正方形的相邻两顶点的四条抛物线围成了图中阴影区域，随机地向正方形内投入一点，则该点落入阴影区域的概率为    ．

11. 难度：中等

已知点（x，y）是不等式组表示的平面区域内的一个动点，且目标函数z=2x+y的最大值为7，最小值为1，则=    ．

12. 难度：中等

若函数f（x）=asinωx+bcosωx（0＜ω＜5，ab≠0）的图象的一条对称轴方程是x=，函数f^′（x）的图象的一个对称中心是（，0），则f（x）的最小正周期是    ．

13. 难度：中等

设集合S={（x，y）|+=1，k∈N^*}，Q={（x，y）||x|+|y|≤5}，则满足S⊆Q的常数k的个数为    ．

14. 难度：中等

（几何证明选讲）如图，点A、B、C都在⊙O上，过点C的切线交AB的延长线于点D，若AB=5，BC=3，CD=6，则线段AC的长为    ．

15. 难度：中等

（坐标系与参数方程选讲）在极坐标系中，已知点A（2，0），点P在曲线C：上运动，则P、A两点间的距离的最小值是    ．

16. 难度：中等

（不等式选讲）用max{x，y，z}表示x，y，z三个实数中的最大数，对于任意实数a，b，设max{|a|，|a+b+1|，|a-b+1|}=M，则M的最小值是    ．

17. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足asinA-csinC=（a-b）sinB
（1）求角C的大小；
（2）求cosA+cosB的取值范围．

18. 难度：中等

从{1，2，3，…，n}中随机地抽出一个数x，按右边程序框图所给算法输出y．
（1）设n=10，求y＜0的概率；
（2）若P（y＞0）=，记输出的y值为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

19. 难度：中等

如图，三棱锥P-ABC的顶点P在圆柱曲线O₁O上，底面△ABC内接于⊙O的直径，且∠ABC=60°，O₁O=AB=4，⊙O₁上一点D在平面ABC上的射影E恰为劣弧AC的中点．
（1）设三棱锥P-ABC的体积为，求证：DO⊥平面PAC；
（2）若⊙O上恰有一点F满足DF⊥平面PAC，求二面角D-AC-P的余弦值．

20. 难度：中等

如图，在一条东西方向的海岸线上的点C处有一个原子能研究所，海岸线北侧有一个小岛，岛上建有一个核电站，该岛的一个端点A位于点C的正北方向4km处，另一个端点B位于点A北偏东30°方向，且与点A相距4.5km，研究所拟在点C正东方向海岸线上的P处建立一个核辐射监测站．
（1）设CP=x，∠APB=θ，试将tanθ表示成x的函数；
（2）若要求在监测站P处观察全岛所张的视角最大，问点P应选址何处？

21. 难度：中等

过直线y=-m（m为大于0的常数）上一动点Q作x轴的垂线，与抛物线C：y=x²相交于点P，抛物线上两点A、B满足
（1）求证：直线AB与抛物线C在点P处的切线平行，且直线AB恒过定点；
（2）是否存在实数m，使得点Q在直线y=-m上运动时，恒有QA⊥QB，若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．

22. 难度：中等

已知数列{a_n}满足：，且对任意a₁=1，n∈N^*，有a_n+a_n+1+（-1）ⁿ⁺¹a_n•a_n+1=0．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）证明：当n＞1时，≤a₁+a₂+…+a_n＜1；
（3）设b_n={a₁a₂…a_n}，函数f_n（x）=1+b₁x+b₂x²+…+b_nx²ⁿ，n∈N^*，证明你对任意的n∈N^*，函数f_n（x）无零点．