2011-2012学年福建省漳州市高三（下）3月质量检查数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数z满足（1-2i）z=7+i，则复数z的共轭复数z=（ ）
A．1+3i
B．1-3i
C．3+i
D．3-i

2. 难度：中等

设集合M={-1，0，1}，N={a，a²}则使M∩N=N成立的a的值是（ ）
A．1
B．0
C．-1
D．1或-1

3. 难度：中等

一个几何体的正视图、侧视图、俯视图都是如图所示正方形及其对角线，则该几何体的体积等于（ ）

A．
B．
C．
D．2

4. 难度：中等

如图是某社区工会对当地企业工人月收入情况进行一次抽样调查后画出的频率分布直方图，其中第二组月收入在[1.5，2）千元的频数为300，则此次抽样的样本容量为（ ）

A．1000
B．2000
C．3000
D．4000

5. 难度：中等

对于任意点P（a，b），要求P关于直线y=x的对称点Q，则算法框图中的①处应填入（ ）

A．b=a
B．a=m
C．m=b
D．b=m

6. 难度：中等

下列论断中错误的是（ ）
A．a、b、m是实数，则“am²＞bm²”是“a＞b”的充分非必要条件
B．命题“若a＞b＞0，则a²＞b²”的逆命题是假命题
C．向量的夹角为锐角的充要条件是＞0
D．命题p：“∃x∈R，x²-3x+2≥0”的否定为¬p：“∀x∈R，x²-3x+2＜0”

7. 难度：中等

设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面．考察下列命题，其中真命题是（ ）
A．m⊥α，n⊂β，m⊥n⇒α⊥β
B．α⊥β，α∩β=m，m⊥n⇒n⊥β
C．α⊥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥n
D．α∥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥n

8. 难度：中等

已知函数f（x）=cos2x+cos（2x-），给出下列结论：
①f（x）是最小正周期为π的偶函数；
②f（x）的图象关于对称；
③f（x）的最大值为2；
④将函数的图象向左平移就得到y=f（x）的图象．
其中正确的是（ ）
A．①②
B．②③
C．②④
D．③④

9. 难度：中等

设双曲线的渐近线与圆相切，则该双曲线的离心率等于（ ）
A．或
B．或
C．
D．

10. 难度：中等

已知定义在R上的函数f（x）满足：①当x＞0时，f（x）＞1，②∀x、y∈R，f（x+y）=f（x） f（y）．数列{a_n}满足①a₁=1，②f（a_n+1）=f（a_n） f（1），（n∈N^*），…+（-1）ⁿ，则T₁₀₀等于（ ）
A．4900
B．-4900
C．5050
D．-5050

二、解答题

11. 难度：中等

若点（x，y）满足则点（x，y）构成的图形的面积等于    ．

12. 难度：中等

在二项式的展开式中，常数项等于    ．

13. 难度：中等

从4名男生和3名女生中选出4人参加市中学生知识竞赛活动，若这4人中必须既有男生又有女生，不同的选法共有    种．

14. 难度：中等

已知a、b是[0，1]上的两个随机数，则函数f（x）=x²+ax+b 有零点的概率等于    ．

15. 难度：中等

在平面直角坐标系中，圆x²+y²=R²（R＞0）上两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），若劣弧AB的长为L，则夹角的弧度数，从而．在空间直角坐标系中，以原点为球心，半径为R的球面上两点A（x₁，y₁，z₁），B（x₂，y₂，z₂），若A、B两点间的球面距离为L，则等于    ．

16. 难度：中等

已知△ABC中，角A、B、C成等差数列，且sinC=2sinA．
（Ⅰ）求角A、B、C；
（Ⅱ）数列{a_n}满足，前n项和为S_n，若S_n=340，求n的值．

17. 难度：中等

3月是植树造林的最佳时节，公园打算在3.12植树节前后引种一批名优树种．现有甲、乙两家苗木场各送来一批同种树苗．公园园林部分别各抽取100棵测量其高度，得到如下的频率分布表：

高度（cm）		[60，70）	[70，80）	[80，90）	[90，100]
甲苗木场	0.18	0.24	0.26	0.32
乙苗木场	0.20	0.30	0.30	0.20

（Ⅰ）分别算出甲、乙两家苗木场树苗样本高度的平均值，；
（样本数据第i组的频率为p_i，中间值为x_i（i=1，2，…，n），则平均值为…+x_np_n．）
（Ⅱ）根据样本数据可算得两个方差：，，结合（Ⅰ）中算出的数据，如果你是公园园林部主管，你将选择哪家苗木场的树苗？说明你的观点；
（Ⅲ）用分层抽样方法从乙苗木场的样本中抽取10棵，小林同学从这10棵中挑选2棵试种，其中高度在[90，100]范围的有X棵，求X的分布列和数学期望．

18. 难度：中等

已知两点A（-2，0）、B（2，0），动点P满足．
（1）求动点P的轨迹E的方程；
（2）H是曲线E与y轴正半轴的交点，曲线E上是否存在两点M、N，使得△HMN是以H为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由．

19. 难度：中等

如图，在Rt△ABC中，∠ABC=3∠BAC=90°，BF⊥AC垂足是F，AE⊥平面ABC，CD∥AE，AC=4CD=4，AE=3．
（Ⅰ）求证：BE⊥DF；
（Ⅱ）求二面角B-DE-F的平面角的余弦值．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=a^x+x²-xlna，（a＞1）．
（I）求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（Ⅱ）函数y=|f（x）-t|-1有三个零点，求t的值；
（Ⅲ）对∀x₁，x₂∈[-1，1]，|f（x₁）-f（x₂）|≤e-1恒成立，求a的取值范围．

21. 难度：中等

本题（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．
（1）选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵A=有一个属于特征值1的特征向量．
（Ⅰ） 求矩阵A；
（Ⅱ） 矩阵B=，点O（0，0），M（2，-1），N（0，2），求△OMN在矩阵AB的对应变换作用下所得到的△O'M'N'的面积．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
已知直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以直角坐标系xOy中的原点O为 极点，x轴的非负半轴为极轴，圆C的极坐标方程为ρ²-4ρcosθ+3=0，
（Ⅰ） 求l的普通方程及C的直角坐标方程；
（Ⅱ） P为圆C上的点，求P到l距离的取值范围．
（3）选修4-5：不等式选讲
已知关于x的不等式：|x-1|+|x+2|≥a²+2|a|-5对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．