2012年福建省厦门市高三3月质量检查数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={0，m²}，B={1，2}，那么“m=-1”是“A∩B={1}”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

2. 难度：中等

已知，则tanα=（ ）
A．
B．-1
C．
D．

3. 难度：中等

如图，已知幂函数y=x^a的图象过点P（2，4），则图中阴影部分的面积等于（ ）

A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

执行右边的程序框图，输出S的值等于（ ）

A．10
B．6
C．3
D．2

5. 难度：中等

某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：

广告费用x（万元）	3	4	5	6
销售额y（万元）	25	30	40	45

根据上表可得回归方程中的为7，据此模型，若广告费用为10万元，预报销售额等于（ ）
A．42.0万元
B．57.0万元
C．66.5万元
D．73.5万元

6. 难度：中等

如图，O为正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD的中心，则下列直线中与B₁O垂直的是（ ）

A．A₁D
B．AA₁
C．A₁D₁
D．A₁C₁

7. 难度：中等

已知函数，则方程f（x）=1的解是（ ）
A．或2
B．或3
C．或4
D．或4

8. 难度：中等

设，若a₁+a₂+…+a_n=63，则展开式中系数最大的项是（ ）
A．15x²
B．20x³
C．21x³
D．35x³

9. 难度：中等

已知F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点，点P在椭圆C上，且线段PF与圆（其中c²=a²-b²）相切于点Q，且=2，则椭圆C的离心率等于（ ）

A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

如图，正五边形ABCDE的边长为2，甲同学在△ABC中用余弦定理解得，乙同学在Rt△ACH中解得，据此可得cos72°的值所在区间为（ ）

A．（0.1，0.2）
B．（0.2，0.3）
C．（0.3，0.4）
D．（0.4，0.5）

二、解答题

11. 难度：中等

已知a∈R，若为纯虚数，则a的值等于    ．

12. 难度：中等

已知实数x，y满足，则的最小值等于    ．

13. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d=2，其前n项和S_n满足S_k+2-S_k=24，则k=    ．

14. 难度：中等

如图△ABC中，AD=2DB，2AE=EC，BE∩CD=P若，则x+y=    ．

15. 难度：中等

记函数f（x）的导数为f^（1）（x），f^（1）（x）的导数为f^（2）（x），…，f^（n-1）（x）的导数为f^（n）（x）（n∈N^*）．若f（x）可进行n次求导，则f（x）均可近似表示为：
若取n=4，根据这个结论，则可近似估计自然对数的底数e≈    （用分数表示）（注：n!=n×（n-1）×…×2×1）

16. 难度：中等

从装有大小相同的3个白球和3个红球的袋中做摸球试验，每次摸出一个球．如果摸出白球，则另从袋外取一个红球替换该白球放回袋中，继续做下一次摸球试验；如果摸出红球，则结束摸球试验．
（Ⅰ）求一次摸球后结束试验的概率P₁与两次摸球后结束试验的概率P₂；
（Ⅱ）记结束试验时的摸球次数为ξ，求ξ的分布列及其数学期望Eξ．

17. 难度：中等

如图，A为双曲线M：x²-y²=1的右顶点，平面上的动点P到点A的距离与到直线l：x=-1的距离相等．
（Ⅰ） 求动点P的轨迹N的方程；
（Ⅱ）已知双曲线M的两条渐近线分别与轨迹N交于点B，C（异于原点）．试问双曲线M上是否存在一点D，满足？若存在，求出点D坐标；若不存在，请说明理由．

18. 难度：中等

如图，从山脚下P处经过山腰N到山顶M拉一条电缆，PN的长为a米，NM的长为2a米，在P处测得M、N的仰角分别为45°，30°，在N处测得M的仰角为30°．
（1）求此山的高度；
（2）试求平面PMN与水平面所成角的余弦值．

19. 难度：中等

设函数f（x）=msinx+3cosx（x∈R），试分别解答下列两小题．
（ I）若函数f（x）的图象与直线y=n（n为常数）相邻两个交点的横坐标为，求函数y=f（x）的解析式，并写出函数f（x）的单调递增区间；
（ II）当时，在△ABC中，满足，且BC=1，若E为BC中点，试求AE的最大值．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=ln（1+x）-kx（k∈R）
（Ⅰ）若f（x）的最大值为0，求k的值；
（Ⅱ）已知数列{a_n}满足a₁=1，．
（ⅰ）求证：a₁+a₂+a₃+…a_n＜2；
（ⅱ）是否存在n∈N^*，使得a_n∉（0，1]，若不存在，请给予证明；若存在，请求出n．

21. 难度：中等

本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．
（1）选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵
（Ⅰ）求矩阵NN；
（Ⅱ）若点P（0，1）在矩阵M对应的线性变换下得到点P′，求P′的坐标．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的极坐标方程是ρ=2cosθ（Ⅰ）在直角坐标系xOy中，求圆C的直角坐标方程
（Ⅱ）求圆心C到直线l的距离．
（3）选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=|x-1|
（Ⅰ）解不等式f（x）＞2；
（Ⅱ）求函数y=f（-x）+f（x+5）的最小值．