2011-2012学年江西省八所重点中学高三（下）4月联考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数的实部是（ ）
A．2
B．-1
C．1
D．-4

2. 难度：中等

设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合∁_U（A∩B）中的元素共有（ ）
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个

3. 难度：中等

要得到函数y=sin（2x+）的图象，只要将函数y=sin2x的图象（ ）
A．向左平移单位
B．向右平移单位
C．向右平移单位
D．向左平移单位

4. 难度：中等

底面水平放置的正三棱柱的所有棱长均为2，当其主视图有最大面积时，其左视图的面积为（ ）
A．
B．3
C．
D．4

5. 难度：中等

已知数据x₁，x₂，x₃，…，x_n是上海普通职工n（n≥3，n∈N^*）个人的年收入，设这n个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上世界首富的年收入x_n+1，则这n+1个数据中，下列说法正确的是（ ）
A．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变
B．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大
C．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变
D．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变

6. 难度：中等

在各项均为正数的等比数列{a_n}中，，则下列结论中正确的是（ ）
A．数列{a_n}是递增数列
B．数列{a_n}是递减数列
C．数列{a_n}是常数列
D．数列{a_n}有可能是递增数列也有可能是递减数列

7. 难度：中等

在△ABC中，P是BC边中点，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，则△ABC的形状为（ ）
A．直角三角形
B．钝角三角形
C．等边三角形
D．等腰三角形但不是等边三角形

8. 难度：中等

甲袋中装有白球3个，黑球5个，乙袋内装有白球4个，黑球6个，现从甲袋内随机抽取一个球放入乙袋，充分掺混后再从乙袋内随机抽取一球放入甲袋，则甲袋中的白球没有减少的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

设e₁、e₂为焦点在x轴上且具有公共焦点F₁、F₂的标准椭圆和标准双曲线的离心率，O为坐标原点，P是两曲线的一个公共点，且满足2=，则的值为（ ）
A．2
B．
C．
D．1

10. 难度：中等

已知函数，则方程f（2x²+x）=a（a＞2）的根的个数不可能为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6

二、解答题

11. 难度：中等

计算=    ．

12. 难度：中等

阅读如图的程序框图，输出的结果S的值为    ．

13. 难度：中等

若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是    ．

14. 难度：中等

直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数f（x）的图象恰好通过k（k∈N^*）个格点，则称函数f（x）为k阶格点函数，下列函数：
①f（x）=log_0.5x；②；③f（x）=3πx²-6πx+3π+2；④f（x）=sin⁴x+cos²x；
其中是一阶格点函数的有    ．

15. 难度：中等

请考生在下列两题中任选一题作答．若两题都做，则按做的第一题评阅计分．
（1）已知曲线C₁、C₂的极坐标方程分别为，，则曲线C₁上的点与曲线C₂上的点的最远距离为    ．
（2）设a=，b=p，c=x+y，若对任意的正实数x，y，都存在以a，b，c为三边长的三角形，则实数p的取值范围是    ．

16. 难度：中等

在锐角三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，=（2b-c，ccosC），=（a，cosA），且∥．
（1）求角A的大小；
（2）求函数y=2sin²B+cos（-2B）的值域．

17. 难度：中等

某公司举办一次募捐爱心演出，有1000 人参加，每人一张门票，每张100元．在演出过程中穿插抽奖活动．第一轮抽奖从这1000张票根中随机抽取10张，其持有者获得价值1000元的奖品，并参加第二轮抽奖活动．第二轮抽奖由第一轮获奖者独立操作按钮，电脑随机产生两个数x，y（x，y∈{0，1，2，3}），满足|x-1|+|y-2|≥3电脑显示“中奖”，且抽奖者获得9000元奖金；否则电脑显示“谢谢”，则不中奖．
（1）已知小明在第一轮抽奖中被抽中，求小明在第二轮抽奖中获奖的概率；
（2）若小白参加了此次活动，求小白参加此次活动收益的期望．

18. 难度：中等

如图，四边形ABCD中（图1），E是BC的中点，DB=2，DC=1，，．将（图1）沿直线BD折起，使二面角A-BD-C为60°（如图2）
（1）求证：AE⊥平面BDC；
（2）求二面角A-DC-B的余弦值．

19. 难度：中等

．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）当λ=时，数列{a_n}中是否存在三项成等差数列，若存在，请求出来；若不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

设不在y轴负半轴的动点P到F（0，1）的距离比到x轴的距离大1．
（1）求P的轨迹M的方程；
（2）过F作一条直线l交轨迹M于A、B两点，过A，B做切线交于N点，再过A、B作y=-1的垂线，垂足为C，D，若S_△ACN+S_△ANB=2S_△BDN，求此时点N的坐标．

21. 难度：中等

设函数f（x）=x-sinx，数列{a_n}满足0＜a₁＜1，a_n+1=f（a_n）．
（1）证明：函数f（x）在（0，1）是增函数；
（2）求证：0≤a_n+1＜a_n＜1；
（3）若，求证：（n≥2，n∈N^*）．