2012年山东省泰安市高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若a、b为实数，则“ab＜1”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分条件
D．既不充分也不必要条件

2. 难度：中等

已知i是虚数单位，则等于（ ）
A．-i
B．i
C．
D．

3. 难度：中等

过点A（2，3）且垂直于直线2x+y-5=0的直线方程为（ ）
A．x-2y+4=0
B．2x+y-7=0
C．x-2y+3=0
D．x-2y+5=0

4. 难度：中等

设P={y|y=-x²+1，x∈R}，Q={y|y=2^x，x∈R}，则（ ）
A．P⊆Q
B．Q⊆P
C．C_RP⊆Q
D．Q⊆C_RP

5. 难度：中等

若|丨=2||≠0，=+，且⊥，则向量与的夹角为（ ）
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°

6. 难度：中等

函数在坐标原点附近的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

设偶函数f（x）满足f（x）=2^x-4（x≥0），则{x|f（x-2）＞0}=（ ）
A．{x|x＜-2或x＞4}
B．{x|x＜0或x＞4}
C．{x|x＜0或x＞6}
D．{x|x＜-2或x＞2}

8. 难度：中等

下列说法：
①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；
②设有一个回归方程，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位；
③线性回归方程必过；
④在一个2×2列联表中，由计算得K²=13.079，则有99%的把握确认这两个变量间有关系；
其中错误的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

9. 难度：中等

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BB₁与平面ACD₁所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）

A．3
B．-6
C．10
D．-15

11. 难度：中等

已知Ω={（x，y）||x≤1，|y|≤1}，A是曲线围成的区域，若向区域Ω上随机投一点P，则点P落入区域A的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

已知函数y=log_a（x+3）-1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则的最小值为（ ）
A．3
B．
C．4
D．8

二、解答题

13. 难度：中等

展开式中常数项为    ．

14. 难度：中等

一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积为    ．

15. 难度：中等

函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A，ω，ϕ为常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则的值是    ．

16. 难度：中等

F₁、F₂为双曲线C：（a＞0，b＞0）的焦点，A、B分别为双曲线的左、右顶点，以F₁F₂为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M，且满足∠MAB=30°，则该双曲线的离心率为    ．

17. 难度：中等

已知数列{a_n}是等差数列，满足a₂=5，a₄=13．数列{b_n}的前n项和是T_n，且T_n+b_n=3．
（1）求数列{a_n}及数列{b_n}的通项公式；
（II）若c_n=a_n•b_n，试比较c_n与c_n+1的大小．

18. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且满足2acosB=bcosC+ccosB．
（I）求角B的大小；
（II）求函数的最大值及取得最大值时的A值．

19. 难度：中等

在三棱锥P-ABC中，PB⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=PB=2，BC=2，E、F、G分别为PC、AC、PA的中点．
（I）求证：平面BCG⊥平面PAC；
（II）在线段AC上是否存在一点N，使PN⊥BE？证明你的结论．

20. 难度：中等

为缓解某路段交通压力，计划将该路段实施“交通银行”．在该路段随机抽查了50人，了解公众对“该路段限行”的态度，将调查情况进行整理，制成下表：

年龄（岁）	[15，25）	[25，）	[35，45）	[45，55）	[55，65）	[65，75）
频数	5	10	15	10	5	5
赞成人数	4	8	9	6	4	3

（I）作出被调查人员年龄的频率分布直方图；
（II）若从年龄在[15，25），[25，35）的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“交通银行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．

21. 难度：中等

已知椭圆（a＞b＞0）与抛物线y²=4x有共同的焦点F，且两曲线在第一象限的交点为M，满足．
（I）求椭圆的方程；
（II）过点P（0，1）的直线l与椭圆交于A、B两点，满足，求直线l的方程．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-（2a+1）x+alnx．
（I）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（II）求函数f（x）的单调区间；
（III）若对任意a∈（-3，-2）及x∈[1，3]时，恒有ma-f（x）＜1成立，求实数m的取值范围．