2012年广东省广州市高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知i为虚数单位，复数z₁=a+i，z₂=2-i，且|z₁|=|z₂|，则实数a的值为（ ）
A．2
B．-2
C．2或-2
D．±2或0

2. 难度：中等

设集合A={（x，y）|2x+y=6}，B={（x，y）|3x+2y=4}，满足C⊆（A∩B）的集合C的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

3. 难度：中等

已知双曲线x²+ay²=1的虚轴长是实轴长的2倍，则a=（ ）
A．
B．4
C．-4
D．-

4. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为l5，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为（ ）
A．10
B．20
C．30
D．40

5. 难度：中等

已知两条不同直线m、l，两个不同平面α、β，在下列条件中，可得出α⊥β的是（ ）
A．m⊥l，l∥α，l∥β
B．m⊥l，α∩β，m⊂α
C．m∥l，m⊥α，l⊥β
D．m∥l，l⊥β，m⊂α

6. 难度：中等

下列说法正确的是（ ）
A．函数在其定义域上是减函数
B．两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件
C．命题“∃x∈R，x²+x+1＞0”的否定是“∀x∈R，x²+x+1＜0”
D．给定命题P、q，若P∧q是真命题，则¬P是假命题

7. 难度：中等

阅读图的程序框图，该程序运行后输出的k的值为（ ）

A．5
B．6
C．7
D．8

8. 难度：中等

已知实数a，b满足a²+b²-4a+3=0，函数f（x）=asinx+bcosx+1的最大值记为φ（a，b），则φ（a，b）的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．
D．3

二、解答题

9. 难度：中等

某社区有600个家庭，其中高收入家庭150户，中等收入家庭360户，低收人家庭90户，为了调查购买力的某项指标，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为l00的样本，则中等收入家庭应抽取的户数是    ．

10. 难度：中等

（）⁶的二项展开式中的常数项为    （用数字作答）．

11. 难度：中等

已知不等式|x-2|＞1的解集与不等式x²+ax+b＞0的解集相等，则a+b的值为    ．

12. 难度：中等

在平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，BE与AC相交于点F，若，则的值为    ．

13. 难度：中等

已知点P是直角坐标平面xOy上的一个动点，|OP|=（点O为坐标原点），点M（-1，0），则cos∠MOP的取值范围是    ．

14. 难度：中等

在极坐标系中，若等边三角形ABC（顶点A，B，C按顺时针方向排列）的顶点A，B的极坐标分别为（2，），（2，），则顶点C的极坐标为    ．

15. 难度：中等

如图，AB是圆O的直径，延长AB至C，使BC=2OB，CD是圆O的切线，切点为D，连接AD，BD，则面的值为    ．

16. 难度：中等

已知函数在某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐标分别为（，2）（，-2）．
（1）求A和ω的值；
（2）已知α∈（0，），且，求f（α）的值．

17. 难度：中等

如图，A，B两点之间有6条网线连接，每条网线能通过的最大信息量分别为1，1，2，2，3，4．从中任取三条网线且使每条网线通过最大信息量，设这三条网线通过的最大信息量之和为ξ．
（1）当ξ≥6时，则保证线路信息畅通，求线路信息畅通的概率；
（2）求ξ的分布列和数学期望．

18. 难度：中等

某建筑物的上半部分是多面体MN-ABCD，下半部分是长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁（如图1）．该建筑物的正（主）视图和侧（左）视图如图2，其中正（主）视图由正方形和等腰梯形组合而成，侧（左）视图由长方形和等腰三角形组合而成．
（1）求直线AM与平面ABCD，所成角的正弦值；
（2）求二面角A-MN-C的余弦值；
（3）求该建筑物的体积．

19. 难度：中等

已知对称中心为坐标原点的椭圆C₁与抛物线C₂：x²=4y有一个相同的焦点F₁，直线l：y=2x+m与抛物线C₂只有一个公共点．
（1）求直线l的方程；
（2）若椭圆C₁经过直线l上的点P，当椭圆C₁的离心率取得最大值时，求椭圆C₁的方程及点P的坐标．

20. 难度：中等

已知函数．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）是否存在实数a，使得函数f（x）的极值大于0？若存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由．

21. 难度：中等

已知函数f（x）的定义域为（-1，1），且，对任意x，y∈（-1，1），都有，数列{a_n}满足．
（1）证明函数f（x）是奇函数；
（2）求数列{f（a_n）}的通项公式；
（3）令，证明：当n≥2时，．