2012年湖南省湘潭市高考数学四模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M={x∈Z|1≤x≤m}，若集合M有4个子集，则实数m=（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

2. 难度：中等

一位母亲记录了儿子3～7岁时的身高，并根据记录数据求得身高（单位：cm）与年龄的回归模型为．若用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则下列叙述正确的是（ ）
A．身高一定是145cm
B．身高在145cm以上
C．身高在145cm左右
D．身高在145cm以下

3. 难度：中等

阅读如图的流程图，若输入a=6，b=1，则输出的结果是（ ）

A．6
B．5
C．4
D．2

4. 难度：中等

己知，为平面上两个不共线的向量，p：|+|=|-|；q：⊥，则p是q的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件

5. 难度：中等

在一个倒置的正三棱锥容器内放入一个钢球，钢球恰与棱锥的四个面都接触，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知f：x→y=x²+2x是集合A到集合B的映射，若集合A中存在两个不同的实数与集合B中的元素m对应，则m的取值范围是（ ）
A．m＞-1
B．m≥-1
C．m＜-1
D．m≤-1

7. 难度：中等

已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且在[0，1]上递增，记，b=f（2），c=f（3），则a，b，c的大小关系为（ ）
A．c＞a＞b
B．c＞b＞a
C．b＞c＞a
D．a＞c＞b

8. 难度：中等

已知，直线l：y=kx+2k与曲线C：有两个不同的交点，设直线l与曲线C围成的封闭区域为P，在区域M内随机取一点A，点A落在区域P内的概率为p，若，则实数k的取值范围为（ ）
A．
B．[0，1]
C．
D．

二、解答题

9. 难度：中等

若圆的极坐标方程为ρ²-2ρcosθ+4ρsinθ+4=0，则圆的半径r=    ．

10. 难度：中等

如图所示，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，垂足为D，则∠DAC=    ．

11. 难度：中等

若，则x²+y²+z²的最小值为    ．

12. 难度：中等

若，则a-a₁+a₂-a₃+a₄-a₅=    ．

13. 难度：中等

由直线y=0与曲线y=sinx在x∈[0，2π]内所围成的封闭图形的面积为    ．

14. 难度：中等

将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”．下列四个命题：
①垂直于同一平面的两直线平行；  ②垂直于同一平面的两平面平行；
③平行于同一直线的两直线平行；  ④平行于同一平面的两直线平行．
其中是“可换命题”的是    ．（填命题的序号）

15. 难度：中等

定义：F（x，y）=y^x（x＞0，y＞0），设数列{a_n}满足，设S_n为数列{}的前n项和，则S_n     1；（填“＞”、“=”或“＜”）

16. 难度：中等

设A为椭圆（a＞b＞0）上一点，点A关于原点的对称点为B，F为椭圆的右焦点，且AF⊥BF，设∠ABF=θ．
（1）|AB|=    ；
（2）若θ∈[，]，则该椭圆离心率的取值范围为    ．

17. 难度：中等

设函数f（x）=Acosωx（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，其中△PQR为等腰直角三角形，∠PQR=，PR=1．求：
（1）函数f（x）的解析式；
（2）函数在x∈[0，10]时的所有零点之和．

18. 难度：中等

如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°，AE⊥平面ABCD，CF⊥平面ABCD，AB=AE=2，CF=3．
（1）求证：EF⊥平面BDE；
（2）求锐二面角E-BD-F的大小．

19. 难度：中等

红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A，乙对B，丙对C各一盘，已知甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为0.6，0.5，0.5，假设各盘比赛结果相互独立．
（Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率；
（Ⅱ）用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望Eξ．

20. 难度：中等

如图，灌溉渠的横截面是等腰梯形，底宽2米，边坡的长为x米、倾角为锐角α．
（1）当且灌溉渠的横截面面积大于8平方米时，求x的最小正整数值；
（2）当x=2时，试求灌溉渠的横截面面积的最大值．

21. 难度：中等

设椭圆C₁：的左、右焦点分别是F₁、F₂，下顶点为A，线段OA的中点为B（O为坐标原点），如图．若抛物线C₂：y=x²-1与y轴的交点为B，且经过F₁，F₂点．
（Ⅰ）求椭圆C₁的方程；
（Ⅱ）设M（0，），N为抛物线C₂上的一动点，过点N作抛物线C₂的切线交椭圆C₁于P、Q两点，求△MPQ面积的最大值．

22. 难度：中等

过点P（1，0）作曲线C：y=x³（x∈（0，+∞））的切线，切点为Q₁，过Q₁作x轴的垂线交x轴于点P₁，又过P₁作曲线C的切线，切点为Q₂，过Q₂作x轴的垂线交x轴于点P₂，…，依次下去得到一系列点Q₁，Q₂，Q₃，…，设点Q_n的横坐标为a_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）①求和；
②求证：．