2011年广东省广州市海珠区高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，2，4}，∁_UB={4，5}，则A∩B=（ ）
A．{1，2}
B．{4}
C．{1，2，3}
D．{3，5}

2. 难度：中等

i是虚数单位，等于（ ）
A．i
B．-i
C．2i
D．-2i

3. 难度：中等

设S_n是等差数列{a_n}前n项和，若a₄=9，S₃=15，则数列{a_n}的通项为（ ）
A．2n-3
B．2n-1
C．2n+1
D．2n+3

4. 难度：中等

已知向量，，若，则等于（ ）
A．1
B．
C．4
D．2

5. 难度：中等

下面给出的四个点中，到直线x-y+2=0的距离为，且位于表示的平面区域的点是（ ）
A．（2，2）
B．（-2，-2）
C．（-2，2）
D．（2，-2）

6. 难度：中等

给定下列四个命题：
①若两个平面互相垂直，那么分别在这两个平面内的任意两条直线也互相垂直；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③若两个平面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面．
④若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
其中，为真命题的是（ ）
A．①和③
B．②和③
C．③和④
D．①和②

7. 难度：中等

某工厂对一批产品长度进行抽样检测．如图是根据抽样检测后的产品长度（单位：厘米）数据绘制的频率分布直方图，其中产品长度的范围是[34，44]，样本数据分组为[34，36），[36，38），[38，40），[40，42），[42，44]，已
知样本中产品长度小于38厘米的个数是36，则样本中 长度大于或等于36厘米并且小于42厘米的产品的个数是（ ）
A．90
B．75
C．60
D．45

8. 难度：中等

已知双曲线的右焦点与抛物线y²=8x的焦点重合，则该双曲线的一条渐近线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知函数f（x）=sinωx（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π，为了得到函数的图象，只要将y=f（x）的图象（ ）
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度

10. 难度：中等

定义运算：例如，1△2=1，则的零点是（ ）
A．-1
B．（-1，1）
C．1
D．-1，1

二、解答题

11. 难度：中等

阅读如图所示的流程图图，b=2sin15°cos15°，则输出的数是    ．（以数字作答）

12. 难度：中等

如图，边长为2的正三角形ABC内接于圆O，在圆O内随机撒一把豆子，豆子落在正三角形ABC内的概率为    ．

13. 难度：中等

在平面内，如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形按图1所标边长，由勾股定理有：c²=a²+b²．设想正方形换成正方体，把截线换成如图2所示的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O-LMN，如果用S₁，S₂，S₃表示三个侧面面积，S₄表示截面面积，那么你类比得到的结论是    ．

14. 难度：中等

直线ρcosθ=2截圆（θ为参数）所得的弦长为    ．

15. 难度：中等

如图⊙0的直径AD=2，四边形ABCD内接于⊙0，直线MN切⊙0于点B，∠MBA=30°，则AB的长为    ．

16. 难度：中等

在锐角三角形ABC中，BC=1，，．
（1）求AC的值；
（2）求sin（A-B）的值．

17. 难度：中等

某校90名专职教师的年龄状况如下表：

年龄	35岁以下	35～50岁	50岁以上
人数	45	30	15

现拟采用分层抽样的方法从这90名专职教师中抽取6名老、中、青教师下乡支教一年，
（1）求从表中三个年龄段中分别抽取的人数；
（2）若从抽取的6个教师中再随机抽取2名到相对更加边远的乡村支教，计算这两名教师至少有一个年龄是35～50岁教师的概率．

18. 难度：中等

如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BC₁∩B₁C=O，H点为点O在平面D₁DCC₁内的正投影．
（1）求以A为顶点，四边形D₁DCH为底面的四棱锥的体积；
（2）求证：BC₁⊥平面A₁B₁CD；
（3）求直线A₁B和平面A₁B₁CD所成的角．

19. 难度：中等

已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C上的动点P引圆O：x²+y²=b²的两条切线PA、PB，A、B分别为切点，试探究椭圆C上是否存在点P，由点P向圆O所引的两条切线互相垂直？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和是S_n，满足S_n=2a_n-1．
（1）求数列的通项a_n及前n项和S_n；
（2）若数列{b_n}满足，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）若对任意的x∈R，恒有T_n＜x²-ax+2成立，求实数a的取值范围．

21. 难度：中等

已知函数，其中m为实数．
（1）函数f（x）在x=-1处的切线斜率为，求m的值；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）若f（x）在x=-2处取得极值，直线y=a与y=f（x）的图象有三个不同的交点，求a的取值范围．