2010-2011学年重庆市南开中学高三（下）3月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

=（ ）
A．
B．0
C．
D．

2. 难度：中等

给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的（ ）条件
A．充要
B．充分非必要
C．必要非充分
D．既非充分又非必要

3. 难度：中等

等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁=2，S₄=20，则S₆=（ ）
A．16
B．24
C．36
D．42

4. 难度：中等

过抛物线y²=4x的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8

5. 难度：中等

若函数f（x）=∝，则使的x的取值范围为（ ）
A．（-∝，1]∪（3，+∝）
B．（-∝，2]∪（4，+∝）
C．（-∝，2）∪（3，+∝）
D．（-∝，3）∪（4，+∝）

6. 难度：中等

函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）=f（2-x），且当x∈（-∞，1）时，（x-1）f′（x）＜0，设a=f（0），b=f（），c=f（3），则（ ）
A．a＜b＜c
B．c＜a＜b
C．c＜b＜a
D．b＜c＜a

7. 难度：中等

已知D是由不等式组，所确定的平面区域，则圆x²+y²=4在区域D内的弧长为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知数列{a_n}的通项为a_n=log_n+1（n+2）（n∈N^*），我们把使乘积a₁•a₂•a₃…a_n为整数的n叫做“优数”，则在（1，2010]内的所有“优数”的和为（ ）
A．1024
B．2003
C．2026
D．2048

9. 难度：中等

若x、y∈R⁺且恒成立，则a的最小值是（ ）
A．1
B．
C．
D．

10. 难度：中等

如图所示，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，，，∠ADC=60°，O为四棱锥P-ABCD内一点，AO=1，
若DO与平面PCD成角最小角为α，则α=（ ）

A．15°
B．30°
C．45°
D．arcsin

二、解答题

11. 难度：中等

已知，且，则n=    ．

12. 难度：中等

在等比数列{a_n}中，a₁+a₂=1，a₃+a₄=2，，则a₅+a₆+a₇+a₈=    ．

13. 难度：中等

△ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c．若a=b，A=2B，则cos B=    ．

14. 难度：中等

在体积为的球的表面上有A，B，C三点，两点的球面距离为，则球心到平面ABC的距离为    ．

15. 难度：中等

已知过点A（t，0）（t＞2）且倾斜角为60°的直线与双曲线交于M，N两点，交双曲线C的右准线于点P，满足，则t=    ．

16. 难度：中等

已知函数．
（1）若f（θ）=1，求sinθ•cosθ的值；
（2）求函数f（x）的单调区间．

17. 难度：中等

己知，当m＞0时，求使不等式成立的x的取值范围．

18. 难度：中等

如图所示，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，PA=AB=2，N为PC的中点．
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）求证：PA∥平面NBD；
（3）求二面角B-AN-C的平面角的大小．

19. 难度：中等

已知x=1为函数f（x）=（x²-ax+1）e^x的一个极值点．
（1）求a及函数f（x）的单调区间；
（2）若对于任意x∈[-2，2]，t∈[1，2]，f（x）≥t²-2mt+2恒成立，求m取值范围．

20. 难度：中等

已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切，A，B分别是椭圆的左右两个顶点，P为椭圆C上的动点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若P与A，B均不重合，设直线PA与PB的斜率分别为k₁，k₂，证明：k₁•k₂为定值；
（Ⅲ）M为过P且垂直于x轴的直线上的点，若，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

21. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足：b₁=4，且b_n+1=b_n²-（n-1）b_n-2，（n∈N^*），
求证：b_n＞a_n，（n≥2，n∈N^*）；
（Ⅲ）求证：．