2007年广东省深圳市高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知a+bi=（1-i）•i（a∈R，b∈R，i为虚数单位），则a、b的值分别是（ ）
A．i，-i
B．1，1
C．1，-1
D．i，-1

2. 难度：中等

已知集合M={x|x²＜4}，N={x|x²-2x-3＜0}，则集合M∩N等于（ ）
A．{x|x＜-2}
B．{x|x＞3}
C．{x|-1＜x＜2}
D．{x|2＜x＜3}

3. 难度：中等

函数是（ ）
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为2π的奇函数
D．最小正周期为2π的偶函数

4. 难度：中等

已知与均为单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（ ）
A．
B．
C．
D．4

5. 难度：中等

下列命题错误的是（ ）
A．命题“若x²-3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x²-3x+2≠0”
B．“x＞2”是“x²-3x+2＞0”的充分不必要条件
C．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题
D．对于命题p：∃x∈R，x²+x+1＜0，则^¬p：∀x∈R，x²+x+1≥0

6. 难度：中等

用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，则它的体积的最小值与最大值分别为（ ）
A．9与13
B．7与10
C．10与16
D．10与15

7. 难度：中等

函数的零点所在的区间是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知双曲线两条准线间的距离为，则双曲线的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．2

9. 难度：中等

如图是某电视台综艺节目举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（ ）
A．84，4.84
B．84，1.6
C．85，4
D．85，1.6

10. 难度：中等

已知函数f（x）=-x²+ax+b²-b+1（a∈R，b∈R），对任意实数x都有f（1-x）=f（1+x）成立，若当x∈[-1，1]时，f（x）＞0恒成立，则b的取值范围是（ ）
A．-1＜b＜0
B．b＞2
C．b＜-1或b＞2
D．不能确定

二、解答题

11. 难度：中等

等差数列{a_n}中，S₁₀=120，那么a₂+a₉的值是    ．

12. 难度：中等

如图是一个算法的程序框图，当输入的x的值为5时，其输出的结果是    ．

13. 难度：中等

已知Ω={（x，y）|x+y＜6，x＞0，y＞0}，A={（x，y）|x＜4，y＞0，x-2y＞0}，则区域Ω的面积是    ；若向区域Ω上随机投一点P，P落入区域A的概率为    ．

14. 难度：中等

请从下面两题中选做一题，如果两题都做，以第一题的得分为最后得分．
（1）在极坐标系中，过圆ρ=4cosθ的圆心，且垂直于极轴的直线方程为    ．
（2）如图，AB为⊙O的直径，弦AC、BD交于点P，若AB=3，CD=1，则sin∠APD=    ．

15. 难度：中等

某单位要在甲、乙、丙、丁4人中安排2人分别担任周六、周日的值班任务（每人被安排是等可能的，每天只安排一人）．
（Ⅰ）共有多少种安排方法？
（Ⅱ）其中甲、乙两人都被安排的概率是多少？
（Ⅲ）甲、乙两人中至少有一人被安排的概率是多少？

16. 难度：中等

已知A、B、C为△ABC的三内角，且其对边分别为a、b、c，若．
（Ⅰ）求A； 
（Ⅱ）若，求△ABC的面积．

17. 难度：中等

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=a，AB=2a，E、F分）别为C₁D₁、A₁D₁的中点．
（Ⅰ）求证：DE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求证：AF∥平面BDE．

18. 难度：中等

将圆x²+y²=8上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍，得到曲线C．设直线l与曲线C相交于A、B两点，且M，其中M是曲线C与y轴正半轴的交点．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）证明：直线l的纵截距为定值．

19. 难度：中等

已知函数（a为常数）．
（Ⅰ）当a=5时，求f（x）的极值；
（Ⅱ）若f（x）在定义域上是增函数，求实数a的取值范围．

20. 难度：中等

已知点A（1，0），B（0，1）和互不相同的点P₁，P₂，P₃，…，P_n，…，满足，其中{a_n}、{b_n}分别为等差数列和等比数列，O为坐标原点，若P₁是线段AB的中点．
（Ⅰ）求a₁，b₁的值；
（Ⅱ）点P₁，P₂，P₃，…，P_n，…能否共线？证明你的结论；
（Ⅲ）证明：对于给定的公差不零的{a_n}，都能找到唯一的一个{b_n}，使得P₁，P₂，P₃，…，P_n，…，都在一个指数函数的图象上．