2009年上海市金山区高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

函数f（x）=sinπx的最小正周期是    ．

2. 难度：中等

函数y=lg（x²-2x+4）的单调递减区间是    ．

3. 难度：中等

函数f（x）=2^x+1（x≥1）的反函数f ^-1（x）=    ．

4. 难度：中等

已知f（x）为奇函数，且当x＞0时f（x）=x（x-1），则f（-3）=    ．

5. 难度：中等

关于x的不等式：＜2的解是    ．

6. 难度：中等

计算：=    ．

7. 难度：中等

如果（x+）ⁿ（n∈N^*）展开式中各项系数的和等于32，则展开式中第3项是    ．

8. 难度：中等

已知直线l的参数方程为：（t为参数），则直线l的倾斜角的大小为    ．

9. 难度：中等

设地球的半径约为6371千米，在赤道圈上有两点A、B，这两点的经度差为120°，则A、B两点的球面距离是    （千米）．（计算结果精确到1千米）

10. 难度：中等

有一种彩票，每注售价2元，中奖的概率为1%、如果每注奖的奖金为50元，那么购买一注彩票的期望收益为    元．

11. 难度：中等

在下列命题中：（1）函数y=tanx在定义域内单调递增；（2）函数y=sinx+arcsinx的最大值为+sin1；（3）函数y=arccosx-是偶函数．其中所有错误的命题序号是    ．

12. 难度：中等

把数列{a_n}的所有项按照从小到大的原则写成如图所示的数表：其中，a_n=2n-1，且第k行有2^k-1个数，第t行的第s个数（从左数起）记为A（t，s），则A（8，18）=    ．

二、选择题

13. 难度：中等

算法的三种基本结构是（ ）
A．顺序结构、模块结构、条件结构
B．顺序结构、循环结构、模块结构
C．顺序结构、选择结构、循环结构
D．选择结构、条件结构、循环结构

14. 难度：中等

用数学归纳法证明1-+-+…+-=++…+（n∈N^*），则从“n=k到n=k+1”，左边所要添加的项是（ ）
A．
B．-
C．-
D．-

15. 难度：中等

极坐标方程：ρ=2cosθ表示的曲线是（ ）
A．经过点（1，0）且垂直极轴的直线
B．圆心为（1，0），半径为1的圆
C．圆心为（1，），半径为1的圆
D．经过点（1，）且平行极轴的直线

16. 难度：中等

函数y=e^|lnx|-|x-1|的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

三、解答题

17. 难度：中等

已知复数z=+ai和z=z-|z|+1-（1+）i，i为虚数单位，a为实数．证明：复数z不可能为纯虚数．

18. 难度：中等

已知椭圆C：（a＞b＞0），F₁、F₂分别为其左、右焦点，点P（，1）在椭圆C上，且PF₂垂直于x轴．
（1）求椭圆C的方程；（2）设坐标平面上有两点A（-5，-4）、B（3，0），过点P作直线l，交线段AB于点D，并且直线l将△PAB分成的两部分图形的面积之比为5：3，求D点的坐标．

19. 难度：中等

如图，在三棱锥B-ACO中，BO、AO、CO所在直线两两垂直，且AO=CO，∠BAO=60°，E是AC的中点，三棱锥B-ACO的体积为．
（1）求三棱锥B-ACO的高；
（2）在线段AB上取一点D，当D在什么位置时，和的夹角大小为arccos．

20. 难度：中等

等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=2，公差为2，在等比数列{b_n}中，当n≥2时，b₂+b₃+…+b_n=2ⁿ+p（p为常数），
（1）求a_n和S_n；
（2）求b₁，p和b_n；
（3）若T_n=对于一切正整数n，均有T_n≤C恒成立，求C的最小值．

21. 难度：中等

（1）设u、v为实数，证明：u²+v²≥；（2）请先阅读下列材料，然后根据要求回答问题．
材料：已知△LMN内接于边长为1的正三角形ABC，求证：△LMN中至少有一边的长不小于．
证明：线段AN、AL、BL、BM、CM、CN的长分别设为a₁、a₂、b₁、b₂、c₁、c₂，设LN、LM、MN的长为x、y、z，
x²=a₁²+a₂²-2a₁a₂cos60°=a₁²+a₂²-a₁a₂
同理：y²=b₁²+b₂²-b₁b₂，z²=c₁²+c₂²-c₁c₂，
x²+y²+z²=a₁²+a₂²+b₁²+b₂²+c₁²+c₂²-a₁a₂-b₁b₂-c₁c₂
…
请利用（1）的结论，把证明过程补充完整；
（3）已知n边形A₁′A₂′A₃′…A_n′内接于边长为1的正n边形A₁A₂…A_n，（n≥4），思考会有相应的什么结论？请提出一个的命题，并给与正确解答．
注意：第（3）题中所提问题单独给分，解答也单独给分．本题按照所提问题的难度分层给分，解答也相应给分，如果同时提出两个问题，则就高不就低，解答也相同处理．