2009年上海市闵行区高考数学一模试卷（文理合卷）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

方程log₂（3x-4）=1的解x=    ．

2. 难度：中等

（文）若直线l经过点P（1，2），且法向量为，则直线l的方程是    （结果用直线的一般式表示）．

3. 难度：中等

（文）计算=    ．

4. 难度：中等

（理）若函数则f^-1（2）=    ．

5. 难度：中等

（文）若，则f^-1（2）=    ．

6. 难度：中等

（理）在极坐标系中，两点的极坐标分别为、，O为极点，则△OAB面积为    ．

7. 难度：中等

（文）若，则函数k=6x+8y的最大值为    ．

8. 难度：中等

（理）无穷数列的各项和为    ．

9. 难度：中等

若f（x）=asinx+3cosx是偶函数，则实数a=    ．

10. 难度：中等

根据上面的框图，该程序运行后输出的结果为     ．

11. 难度：中等

（理）已知地球半径为6378公里，位于赤道上两点A、B分别在东经23°和143°上，则A、B两点的球面距离为    公里（π取3.14，结果精确到1公里）．

12. 难度：中等

（文）已知一个圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形，则该圆柱的体积为    ．

13. 难度：中等

一个袋子里装有外形和质地一样的5个白球、3个绿球、2个红球，将它们充分混合后，摸得一个白球记1分，摸得一个绿球记2分，摸得一个红球记4分，用随机变量ξ表示随机摸得一个球的得分，则随机变量ξ的均值为    ．

14. 难度：中等

（文）在航天员进行的一项太空试验中，先后要实施6道程序，则满足程序A只能出现在最后一步，且程序B和程序C必须相邻实施的概率为    ．

15. 难度：中等

（理）若关于x的方程2^x-3a+1=0在（-∞，1]上有解，则实数a的取值范围是    ．

16. 难度：中等

（文）若关于x的方程x²-3a+1=0在[-1，+∞）上有解，则实数a的取值范围是    ．

17. 难度：中等

（理）对于任意，不等式psin²x+cos⁴x≥2sin²x恒成立，则实数p的范围为    ．

18. 难度：中等

（文）对于任意，不等式psin²x+cos⁴x≥0恒成立，则实数p的最小值为    ．

19. 难度：中等

通过研究函数f（x）=2x⁴-10x²+2x-1在实数范围内的零点个数，进一步研究可得g（x）=2xⁿ+10x²-2x-1（n≥3，n∈N）在实数范围内的零点个数为    ．

二、选择题

20. 难度：中等

（理）“|x-1|＜2”是“”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件

21. 难度：中等

“|x-1|＜2”是“x＜3”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

22. 难度：中等

（理）若z∈C，且|z+2-2i|=1，则|z-2-2i|的取值范围是（ ）
A．[2，3]
B．[3，5]
C．[4，5]
D．[4，6]

23. 难度：中等

（文）若z∈C，且|z|=1，则|z-2i|的最大值是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5

24. 难度：中等

函数图象上的动点P到直线y=2x的距离为d₁，点P到y轴的距离为d₂，则d₁d₂=（ ）
A．5
B．
C．
D．不确定的正数

25. 难度：中等

（理）已知椭圆（θ为参数）上的点P到它的两个焦点F₁、F₂的距离之比，且，则α的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．

26. 难度：中等

（文）椭圆上的点P到它的两个焦点F₁、F₂的距离之比，且，则α的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．

三、解答题

27. 难度：中等

（理）已知的最大值为2，求实数m的值．

28. 难度：中等

（文）已知的最大值为2，求实数m的值．

29. 难度：中等

（理）在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AD=1，AA₁=1，点E在棱AB上移动．
（1）探求AE等于何值时，直线D₁E与平面AA₁D₁D成45°角；
（2）点E移动为棱AB中点时，求点E到平面A₁DC₁的距离．

30. 难度：中等

（文）如图几何体是由一个棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁与一个侧棱长为2的正四棱锥P-A₁B₁C₁D₁组合而成．
（1）求该几何体的主视图的面积；
（2）若点E是棱BC的中点，求异面直线AE与PA₁所成角的大小（结果用反三角函数表示）．

31. 难度：中等

课本中介绍了诺贝尔奖，其发放方式为：每年一次，把奖金总金额平均分成6份，奖励在6项（物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平）为人类作出了最有益贡献的人．每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息用于增加基金总额，以便保证奖金数逐年递增．资料显示：1998年诺贝尔奖发奖后基金总额已达19516万美元，假设基金平均年利率为
r=6.24%．
（1）请计算：1999年诺贝尔奖发奖后基金总额为多少万美元？当年每项奖金发放多少万美元（结果精确到1万美元）？
（2）设f（x）表示为第x（x∈N^*）年诺贝尔奖发奖后的基金总额（1998年记为f（1）），试求函数f（x）的表达式．并据此判断新民网一则新闻“2008年度诺贝尔奖各项奖金高达168万美元”是否与计算结果相符，并说明理由．

32. 难度：中等

（理）斜率为1的直线过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，且与抛物线交于两点A、B．
（1）若p=2，求|AB|的值；
（2）将直线AB按向量平移得直线m，N是m上的动点，求的最小值．
（3）设C（p，0），D为抛物线y²=2px（p＞0）上一动点，是否存在直线l，使得l被以CD为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．

33. 难度：中等

（文）斜率为1的直线过抛物线y²=4x的焦点，且与抛物线交于两点A、B．
（1）求|AB|的值；
（2）将直线AB按向量平移得直线m，N是m上的动点，求的最小值．
（3）设C（2，0），D为抛物线y²=4x上一动点，证明：存在一条定直线l：x=a，使得l被以CD为直径的圆截得的弦长为定值，并求出直线l的方程．

34. 难度：中等

（文）本题共有3个小题，第1、2小题满分各5分，第3小题满分7分．第3小题根据不同思维层次表现予以不同评分．
对于数列{a_n}
（1）当{a_n}满足a_n+1-a_n=d（常数）且（常数），证明：{a_n}为非零常数列．
（2）当{a_n}满足a_n+1²-a_n²=d'（常数）且（常数），判断{a_n}是否为非零常数列，并说明理由．
（3）对（1）、（2）等式中的指数进行推广，写出推广后的一个正确结论（不用说明理由）．