2008年上海市嘉定区高考数学二模试卷（文科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

设z为复数，i为虚数单位，若z²+1=0，则（z⁴+i）（z⁴-i）=    ．

2. 难度：中等

函数y=的定义域是    ．

3. 难度：中等

将一组数据中的每一个数据都乘以2，再都减去3，得到一组新数据，若求得新数据的平均数为5，则原来数据的平均数为    ．

4. 难度：中等

已知函数，则=    ．

5. 难度：中等

已知双曲线的一条渐进线与直线x-2y+3=0垂直，则a=    ．

6. 难度：中等

设集合A={x|x²-2x≤0}，B={x|a≤x≤a+1}，若B⊆A，则实数a的取值范围是    ．

7. 难度：中等

已知向量，满足，则，的夹角为    ．

8. 难度：中等

如图由一个边长为2的正方形及四个正三角形构成，将4个正三角形沿着其与正方形的公共边折起后形成的四棱锥的体积为    ．

9. 难度：中等

已知x，y满足，则目标函数S=4x+5y-3的最大值为    ．

10. 难度：中等

在等比数列{a_n}中，a₁+a₂=4，a₃+a₄=1，则=    ．

11. 难度：中等

甲、乙两人玩数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为a，再由乙猜想甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b，现规定a、b∈{1，2，3，4，5，6}，若|a-b|≤1，则称甲和乙“心有灵犀”，现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为    ．

12. 难度：中等

函数f（x）=（a-1）x²+2ax+1在区间（1，2）上是增函数，则实数a的取值范围是    ．

二、选择题

13. 难度：中等

已知非零向量，，则“”是“∥”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件

14. 难度：中等

设，则方程x²•cosθ+y²•sinθ=1不可能表示（ ）
A．两条直线
B．圆
C．椭圆
D．双曲线

15. 难度：中等

已知数列{a_n}对所有正整数n满足a_n＜a_n+1，且a_n=2n²+pn，则实数p的取值范围是（ ）
A．（-∞，-6）
B．（-6，+∞）
C．（-∞，6）
D．（6，+∞）

16. 难度：中等

过双曲线的左焦点F作直线l交双曲线于不同的两点P与Q，则满足|PQ|=6的直线l的条数有（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

三、解答题

17. 难度：中等

已知复数z是方程x²+2x+2=0的解，且 Imz＞0，若（其中a、b为实数，i为虚数单位，Imz表示z的虚部）．求复数w=a+bi的模．

18. 难度：中等

某药店有一架不准确的天平（其左右两臂不等长）和一个50克的砝码．一名顾客想要购买100克中药，营业员便分两次为他称量．第一次，他将砝码放在左盘中，将药物放在右盘中，待平衡后将药物交给顾客；第二次，他将药物放在左盘中，将砝码放在右盘中，待平衡后将药物交给顾客．问，营业员这样称量，顾客实际得到的药物是否正好是100克？说明理由（不考虑其他因素造成的误差）．

19. 难度：中等

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面边长为2，异面直线A₁B与B₁C₁所成角的大小为．
（1）求侧棱AA₁的长；
（2）求点B₁到平面A₁BC的距离．

20. 难度：中等

设函数f（x）=（x-a）²，g（x）=x，x∈R，a为实常数．
（1）若a＞0，设，x≠0，用函数单调性的定义证明：函数F（x）在区间[a，+∞）上是增函数；
（2）设关于x的方程f（x）=|g（x）|在R上恰好有三个不相等的实数解，求a的值所组成的集合．

21. 难度：中等

已知椭圆C：（a＞b＞0）．
（1）设椭圆的半焦距c=1，且a²，b²，c²成等差数列，求椭圆C的方程；
（2）对（1）中的椭圆C，直线y=x+1与C交于P、Q两点，求|PQ|的值；
（3）设B为椭圆C：（a＞b＞0）的短轴的一个端点，F为椭圆C的一个焦点，O为坐标原点，记∠BFO=θ．当椭圆C同时满足下列两个条件：①；②a²+b²=2a²b²．求椭圆长轴的取值范围．

22. 难度：中等

已知点P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂），…，P_n（a_n，b_n）（n为正整数）都在函数的图象上．
（1）若数列{a_n}是首项为1，公差也为1的等差数列，求{b_n}的通项公式；
（2）对（1）中的数列{a_n}和{b_n}，过点P_n，P_n+1的直线与两坐标轴所围成的三角形面积为c_n，试证明：对一切正整数n，；
（3）对（1）中的数列{a_n}，对每个正整数k，在a_k与a_k+1之间插入3^k-1个3，得到一个新的数列{d_n}，问a₅是数列{d_n}中的第几项．若设S_n是数列{d_n}的前n项和，试求S₁₀₀的值．