2009年上海市松江区高考数学二模试卷（文科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

设复数z满足z-1=z•i（i是虚数单位），则z=    ．

2. 难度：中等

方程3^2x-3^x+1-4=0的解是x=    ．

3. 难度：中等

已知向量，若向量与垂直，则=    ．

4. 难度：中等

已知函数，g（x）与f（x）的图象关于直线y=x对称，则=    ．

5. 难度：中等

若，则实数a=    ．

6. 难度：中等

函数的最大值是    ．

7. 难度：中等

已知x、y满足，则x+2y的最大值等于    ．

8. 难度：中等

已知集合A={x||3x-m|＜4，x∈R}，B=N，若A∩B={1，2，3}，则实数m的取值范围是    ．

9. 难度：中等

从5名世博志愿者中选出3名，分别从事翻译、导游、保洁三项不同的工作，每人承担一项，其中甲不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有    种．

10. 难度：中等

在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是C₁B₁的中点，若E，F都是AB上的点，且，Q是A₁B₁上的点，则四面体EFPQ的体积是    ．

11. 难度：中等

函数f（x）=x²+b|x-a|为偶函数的充要条件是    ．

12. 难度：中等

当正三角形的边长为n（n∈N^*）时，图（1）中点的个数为f₃（n）=1+2+3+…+（n+1）=（n+1）（n+2）；当正方形的边长为n时，图（2）中点的个数为f₄（n）=（n+1）²；在计算图（3）中边长为n的正五边形中点的个数f₅（n）时，观察图（4）可得f₅（n）=f₄（n）+f₃（n-1）=（n+1）²+=（n+1）（3n+2）；…．则边长为n的正k边形（k≥3，k∈N）中点的个数f_k（n）=    ．

二、选择题

13. 难度：中等

若直线ax+by+c=0的一个法向量，则这条直线的倾斜角为（ ）
A．
B．
C．
D．不能确定

14. 难度：中等

已知f（x）在R上是奇函数，且f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x²，则f（7）=（ ）
A．-2
B．2
C．-98
D．98

15. 难度：中等

若直线mx+ny=4和圆x²+y²=4没有公共点，则过点（m，n）的直线与椭圆的公共点个数为（ ）
A．至多一个
B．0个
C．1个
D．2个

16. 难度：中等

对于直角坐标平面内任意两点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），定义它们之间的一种“新距离”：|AB|=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|．给出下列三个命题：
①若点C在线段AB上．则|AC|+|BC|=|AB|；
②在△ABC中，若∠C=90°，则|AC|²+|CB|²=|AB|²；
③在△ABC中，|AC|+|CB|＞|AB|．
其中的真命题为（ ）
A．①②③
B．①②
C．①
D．②③

三、解答题

17. 难度：中等

在△ABC中，，．
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）设，求△ABC的面积．

18. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCO中，底面四边形OABC是直角梯形，∠AOC=90°，AB∥OC，PO⊥平面OABC，且|OC|=3a，|PO|=|AO|=|AB|=a．
（1）求证：AO⊥平面POC；
（2）求异面直线PA与BC所成角的大小．

19. 难度：中等

已知幂函数在区间（0，+∞）上是单调增函数，且为偶函数．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设函数，若g（x）＞0对任意x∈[-1，1]恒成立，求实数q的取值范围．

20. 难度：中等

对于正整数k，g（k）表示k的最大奇因数，如g（1）=1，g（2）=1，g（3）=3，g（4）=1，…．
（1）分别计算：g（1）+g（3）+g（5）+g（7）；g（1）+g（2）+g（3）+g（4）；g（2）+g（4）+g（6）+g（8）；
（2）求g（1）+g（3）+g（5）+…+g（2k-1）；
并证明g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2^n-1）=g（2）+g（4）+g（6）+…+g（2ⁿ）；
（3）记f（n）=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2ⁿ）其中n为正整数，求f（n）．

21. 难度：中等

若椭圆E₁：和椭圆E₂：满足，则称这两个椭圆相似，m称为其相似比．
（1）求经过点，且与椭圆相似的椭圆方程；
（2）设过原点的一条射线l分别与（1）中的两个椭圆交于A、B两点（其中点A在线段OB上），
求的最大值和最小值；
（3）对于真命题“过原点的一条射线分别与相似比为2的两个椭圆C₁：和C₂：交于A、B两点，P为线段AB上的一点，若|OA|、|OP|、|OB|成等差数列，则点P的轨迹方程为”．请用推广或类比的方法提出类似的一个真命题，并给予证明．