2010年上海市静安区高考数学一模试卷（文理合卷）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

计算行列式：=    ．

2. 难度：中等

函数的值域是    ．

3. 难度：中等

若复数z满足z•（1+i）=2（其中i为虚数单位），则 Rez=    ．

4. 难度：中等

函数y=-2sinx+cos2x的最大值是    ．

5. 难度：中等

某个停车场有12个停车位，今有8辆不同牌照的汽车需要停放，要使4个空位连在一起，则有    种不同的停放方法．

6. 难度：中等

在的展开式中，常数项是第    项．

7. 难度：中等

函数f（x）=cos（2x+ϕ）的图象关于点成中心对称，则φ的最小正值为    ．

8. 难度：中等

函数的最小值是    ．

9. 难度：中等

已知O是坐标原点，A，B是平面上的两点，且，．若△AOB是直角三角形，则m=    ．

10. 难度：中等

定义为向量到向量的一个矩阵变换，其中O是坐标原点，n∈N*．已知，则的坐标为    ．

11. 难度：中等

（理）已知球面上有A、B、C三点，AB=AC=2，BC=，球心到平面ABC的距离为1，则球的表面积为    ．

12. 难度：中等

（文）已知正四棱柱的一条对角线长为，底面边长为1，则此正四棱柱的表面积为    ．

13. 难度：中等

（理）已知无穷等比数列{a_n}各项的和等于10，则数列{a_n}的首项a₁的取值范围是    ．

14. 难度：中等

（文）连续掷两次骰子，得到两个数，则出现大数减去小数后的差等于5的概率为    ．（结果用数值表示）

15. 难度：中等

（理）已知函数的定义域为，则实数a的取值范围是    ．

16. 难度：中等

（文）已知y=f（x）是偶函数，y=g（x）是奇函数，它们的定义域均为[-3，3]，且它们在x∈[0，3]上的图象如图所示，则不等式的解集是    ．

17. 难度：中等

数列A_n的前m项为A₁，A₂，…，A_m，若对任意正整数n，有A_（n+m）=A_n•q（其中q为常数，q不等于0，1），则称数列A_n是以m为周期，以q为周期公比的似周期性等比数列．已知似周期性等比数列B_n的前7项为1，1，1，1，1，1，2，周期为7，周期公比为3，则数列B_n前7k+1项的和     ．（k为正整数）．

二、选择题

18. 难度：中等

已知等比数列{a_n}的各项均为正数，公比q≠1，设，，则P与Q的大小关系是（ ）
A．P＞Q
B．P＜Q
C．P=Q
D．无法确定

19. 难度：中等

已知z是纯虚数，是实数，那么z等于（ ）
A．2i
B．i
C．-i
D．-2i

20. 难度：中等

如图，执行下面的流程图，输出结果（ ）

A．9
B．10
C．11
D．55

21. 难度：中等

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面边长都相等，A₁在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC₁所成的角的余弦值为（ ）

A．
B．
C．
D．

三、解答题

22. 难度：中等

（理）已知坐标平面上三点A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα）．
（1）若（O为坐标原点），求向量与夹角的大小；
（2）若，当0＜α＜π时，求tanα的值．

23. 难度：中等

已知坐标平面上三点A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα）．
（1）若（O为原点），求向量与夹角的大小；
（2）若，求sin2α的值．

24. 难度：中等

如图，圆锥的顶点是S，底面中心为O．OC是与底面直径AB垂直的一条半径，D是母线SC的中点．
（1）求证：BC与SA不可能垂直；
（2）设圆锥的高为4，异面直线AD与BC所成角的余弦值为，求圆锥的体积．

25. 难度：中等

（文）如图，球O的半径长为．
（1）求球O的表面积；
（2）求球O的体积；
（3）若球O的小圆直径AB=30，求A、B两点的球面距离．

26. 难度：中等

（理）高三某班有甲、乙两个学习小组，每组都有10名同学，其中甲组有4名女同学和6名男同学；乙组有6名女同学和4名男同学．现采用分层抽样分别从甲、乙两组中各抽2名同学进行学习情况调查．求：
（1）从甲组抽取的同学中恰有1名女同学的概率；
（2）抽取的4名同学中恰有2名男同学的概率．

27. 难度：中等

（文）某居民小区供水站的蓄水池现有水40吨，自来水泵房每小时可向蓄水池中注水8吨，同时蓄水池又向居民小区供水，t小时内供水总量为吨．现在开始向池中注水并同时向居民小区供水，若蓄水池中存水量少于10吨，就会出现供水紧张现象．
（1）试建立从现在开始一天内蓄水池中存水量与供水时间t（0≤t≤24）之间的函数关系；
（2）供水多少时间开始出现供水紧张？这一天内供水紧张的时间有几小时？

28. 难度：中等

（理）已知等差数列{a_n}中，a₃=7，a₁+a₂+a₃=12，令b_n=a_na_n+1，数列的前n项和为T_n．n∈N*．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）求证：；
（3）通过对数列{T_n}的探究，写出“T₁，T_m，T_n成等比数列”的一个真命题并说明理由（1＜m＜n，m，n∈N*）．
说明：对于第（3）题，将根据对问题探究的完整性，给予不同的评分．

29. 难度：中等

（文）已知无穷等比数列{a_n}中，首项a₁=1000，公比；数列{b_n}满足．求：
（1）无穷等比数列{a_n}各项的和；
（2）数列{b_n}的通项公式；
（3）数列{b_n}的前n项之和的最大值．

30. 难度：中等

已知函数f（x）=．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）若函数f（x）的定义域关于坐标原点对称，试讨论它的奇偶性和单调性；
（3）在（2）的条件下，记f^-1（x）为f（x）的反函数，若关于x的方程f^-1（x）=5k•2^x-5k有解，求k的取值范围．