2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（四川卷解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

（5分）设集合A={1，2，3}，集合B={﹣2，2}，则A∩B=（　　）

A．  ∅       B．   {2}    C．   {﹣2，2}   D．  {﹣2，1，2，3}

2. 难度：简单

（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（　　）

A．  棱柱 B．   棱台 C．   圆柱 D．  圆台

3. 难度：简单

（5分）如图，在复平面内，点A表示复数z的共轭复数，则复数z对应的点是（　　）

A．  A       B．   B       C．   C       D．  D

4. 难度：简单

（5分）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则（　　）

A．  ￢p：∃x∈A，2x∈B   B．   ￢p：∃x∉A，2x∈B  

C．   ￢p：∃x∈A，2x∉B   D．  ￢p：∀x∉A，2x∉B

5. 难度：简单

（5分）抛物线y²=8x的焦点到直线的距离是（　　）

A．           B．   2       C．      D．  1

6. 难度：简单

（5分）函数的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（　　）

A．          B．           C．           D． 

7. 难度：简单

（5分）某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示．以组距为5将数据分组成[0，5），[5，10），…，[30，35），[35，40]时，所作的频率分布直方图是（　　）

A．           B．           

C．   D．

8. 难度：简单

（5分）若变量x，y满足约束条件且z=5y﹣x的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值是（　　）

A．  48     B．   30     C．   24     D．  16

9. 难度：简单

（5分）从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F₁，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP（O是坐标原点），则该椭圆的离心率是（　　）

A．     B．         C．      D． 

10. 难度：中等

（5分）设函数（a∈R，e为自然对数的底数）．若存在b∈[0，1]使f（f（b））=b成立，则a的取值范围是（　　）

A．  [1，e]       B．   [1，1+e]  C．   [e，1+e]  D．  [0，1]

二、填空题

11. 难度：简单

（5分）的值是　 　．

12. 难度：简单

（5分）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，，则λ=　 　．

13. 难度：简单

（5分）已知函数在x=3时取得最小值，则a=　  　．

14. 难度：简单

（5分）设sin2α=﹣sinα，，则tan2α的值是　　．

15. 难度：简单

（5分）在平面直角坐标系内，到点A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，﹣1）的距离之和最小的点的坐标是　      　．

三、解答题

16. 难度：简单

（12分）在等比数列{a_n}中，a₂﹣a₁=2，且2a₂为3a₁和a₃的等差中项，求数列{a_n}的首项、公比及前n项和．

17. 难度：简单

（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

（Ⅰ）求sinA的值；

（Ⅱ）若，b=5，求向量在方向上的投影．

18. 难度：中等

（12分）某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生．

（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率P_i（i=1，2，3）；

（Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i（i=1，2，3）的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．

甲的频数统计表（部分）                  

运行 次数n	输出y的值 为1的频数	输出y的值 为2的频数	输出y的值 为3的频数
30	14	6	10
…	…	…	…
2100	1027	376	697

乙的频数统计表（部分）

运行 次数n	输出y的值 为1的频数	输出y的值 为2的频数	输出y的值 为3的频数
30	12	11	7
…	…	…	…
2100	1051	696	353

当n=2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大．

19. 难度：中等

（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C中，侧棱AA₁⊥底面ABC，AB=AC=2AA₁=2，∠BAC=120°，D，D₁分别是线段BC，B₁C₁的中点，P是线段AD上异于端点的点．

（Ⅰ）在平面ABC内，试作出过点P与平面A₁BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD₁A₁；

（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l交AC于点Q，求三棱锥A₁﹣QC₁D的体积．（锥体体积公式：，其中S为底面面积，h为高）

20. 难度：困难

（13分）已知圆C的方程为x²+（y﹣4）²=4，点O是坐标原点．直线l：y=kx与圆C交于M，N两点．

（Ⅰ）求k的取值范围；

（Ⅱ）设Q（m，n）是线段MN上的点，且．请将n表示为m的函数．

21. 难度：困难

（14分）已知函数，其中a是实数．设A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））为该函数图象上的两点，且x₁＜x₂．

（Ⅰ）指出函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x₂＜0，证明：x₂﹣x₁≥1；

（Ⅲ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．