2011-2012学年湖南省长望浏宁四市县区高三5月联考理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设全集，集合，，则图中的阴影部分表示的集合为

A．                   B． 

C．                 D．

2. 难度：中等

 “成等差数列”是“”成立的

A．充分非必要条件； B.必要非充分条件； C.充要条件  D.既非充分也非必要条件

3. 难度：中等

为得到函数y=cos(x+)的图象，只需将函数y＝sinx的图象

  A.向左平移个长度单位　　B.向右平移个长度单位

  C.向左平移个长度单位　　D.向右平移个长度单位

4. 难度：中等

11．近年来，能源消耗大幅攀升、机动车保有量急增，我国许多大城市灰霾现象频发，造成灰霾天气的“元凶”之一是空气中pm2.5（直径小于等于2.5微米的颗粒物）.如下图是某市某月（按30天计）根据对“pm2.5” 24小时平均浓度值测试的结果画成的频率分布直方图，若规定空气中“pm2.5”24小时平均浓度值不超过0.075毫克/立方米为达标，那么该市当月 “pm2.5”含量不达标的天数为

   A．2    B．3        C．28       D．27

5. 难度：中等

 已知某几何体的三视图如上右图所示，其中，正视图，侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为

A.            B.      C.            D. 

6. 难度：中等

若函数在区间上为减函数，则a的取值范围是

    A．（0，1）  B．  C．    D．

7. 难度：中等

已知函数，则不等式组表示的平面区域为

8. 难度：中等

 记点到图形上每一个点的距离的最小值称为点到图形的距离，那么平面内到定圆的距离与到定点的距离相等的点的轨迹不可能是                                                   

A.圆              B.椭圆               C.双曲线的一支          D.直线

二、填空题

9. 难度：中等

在极坐标系中，点关于直线的对称点的一个极坐标为_____.

10. 难度：中等

如右图，是圆的直径，直线与圆相切于点，于点，若圆的面积为，，则的长为      ．

11. 难度：中等

调酒师为了调制一种鸡尾酒.每100kg烈性酒中需要加入柠檬汁的量为1000g到2000g之间，现准备用黄金分割法找到它的最优加入量. 如果加入柠檬汁误差不超出1g，需要         次试验.

()

12. 难度：中等

 的二项展开式中第二项的系数是           （用数字作答）.

13. 难度：中等

如下左图程序，执行后输出的结果是S=             .

14. 难度：中等

如下图，在中，，，是边的中点，则。

15. 难度：中等

已知函数，给出下面四个命题：①函数的最小正周期为；

②函数是偶函数；③函数的图象关于直线对称；④函数在区间上是增函数，其中错误命题的序号是                 .

16. 难度：中等

对于数列，如果存在一个正整数，使得对任意的都有成立，那么就把这样一类数列称作周期为的周期数列，的最小正值称作数列的最小正周期，以下简称周期。例如当时,是周期为的周期数列；当时，是周期为的周期数列。设数列满足.

（1）若数列是周期为的周期数列，则常数的值是        ；

（2）设数列的前项和为，若，则         .

三、解答题

17. 难度：中等

（本小题满分12分）

已知△ABC的面积为3，且满足，设和的夹角是，

（1）求的取值范围；

（2）求函数的最大值。

18. 难度：中等

（本小题满分12分）

    2012年4月15日，央视《每周质量报告》曝光某省一些厂商用生石灰处理皮革废料，熬制成工业明胶，卖给一些药用胶囊生产企业，由于皮革在工业加工时，要使用含铬的鞣制剂，因此这样制成的胶囊，往往重金属铬超标，严重危害服用者的身体健康。该事件报道后，某市药监局立即成立调查组，要求所有的药用胶囊在进入市场前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售，两轮检测是否合格相互没有影响。

（1）某药用胶囊共生产3个不同批次，经检测发现有2个批次为合格，另1个批次为不合格，现随机抽取该药用胶囊5件，求恰有2件不能销售的概率；

（2）若对某药用胶囊的3个不同批次分别进行两轮检测，药品合格的概率如下表：

	第1批次	第2批次	第3批次
第一轮检测
第二轮检测

 记该药用胶囊能通过检测进行销售的批次数为，求的分布列及数学期望

19. 难度：中等

（本小题满分12分）

如图， 是直角三角形，，交于点，平面，，．

（1）证明：；

（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．

20. 难度：中等

（本小题满分13分）

平地上有一条水渠，其横断面是一段抛物线弧，如图，已知渠宽为，渠深为6。

（1）若渠中水深为4，求水面的宽，并计算水渠横断面上的过水面积；

（2）为了增大水渠的过水量，现要把这条水渠改挖（不能填土）成横断面为等腰梯形的水渠，使水渠的底面与地面平行（不改变渠深），要使所挖土的土方量最少，请你设计水渠改挖后的底宽，并求出这个底宽。

21. 难度：中等

（本小题满分13分）

已知椭圆 .与有相同的离心率,过点的直线与,依次交于A,C,D,B四点(如图).当直线过的上顶点时, 直线的倾斜角为.

（1）求椭圆的方程;

（2）求证:;

（3）若,求直线的方程.

22. 难度：中等

（本小题满分13分）

设函数对任意的实数，都有，且当时，。

（1）若时，求的解析式；

（2）对于函数，试问：在它的图象上是否存在点，使得函数在点处的切线与平行。若存在，那么这样的点有几个；若不存在，说明理由。

（3）已知，且 ，记，求证： 。