2010-2011学年福建省高三第四次月考数学理卷

一、选择题

1. 难度：中等

巳知全集U=C（复数集），是虚数单位，集合（整数集）和的关系韦恩（Ｖenn）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（    ）

A． ３个  Ｂ．1个  Ｃ．2个   Ｄ．无穷个

2. 难度：中等

已知，则的值为（    ）

A.    B.    C.     D

3. 难度：中等

对任意的实数，有，则的值是（   ）

A．3          B．6              C．9               D．21

4. 难度：中等

某市组织一次高三调研考试,考试后统计的数学成绩服从正态分布,其密度函数为,则下列命题中不正确的是 (    )

A. 该市这次考试的数学平均成绩为80分

B.分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同

C. 分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同

D. 该市这次考试的数学成绩标准差为10

5. 难度：中等

等差数列的前项和为，那么值的是（    ）

A．130               B．65            C．70              D．以上都不对

6. 难度：中等

若双曲线过点，且渐近线方程为，则双曲线的焦点(    )

A．在轴上 B．在轴上C．在轴或轴上        D．无法判断是否在坐标轴上

7. 难度：中等

偶函数f(x)满足f(x-1) =f(x+1)，且在时，f(x)=-x+1，则关于x的方程，在上解的个数是 （    ）

A.1     B.2      C.3     D.4

8. 难度：中等

定义某种运算，运算原理如右图所示，则式子

的值为（      ）

A．13    B．11    C．8     D．4

9. 难度：中等

给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记，若在上恒成立，则称在上为凸函数。以下四个函数在上不是凸函数的是（   ）

A． B．  C．    D．

10. 难度：中等

若m，n均为非负整数，在做m+n 的加法时各位均不进位（例如：134+3802=3936）则称（m,n）为“简单的”有序数对，而m+n 称为有序数对（m,n）的值，那么值为1942的“简单的”有序对的个数是 （   ）

A．150          B.300           C．480          D．600

二、填空题

11. 难度：中等

在等式中，根号下的表示的正整数是     ．                              

12. 难度：中等

从5名外语系大学生中选派4名同学参加广州亚运会翻译、交通、礼仪三项义工活动，要求翻译有2人参加，交通和礼仪各有1人参加，则不同的选派方法共有             ． (用数字作答)

13. 难度：中等

已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是             ．                         

14. 难度：中等

集合的元子集中，任意两个元素的差的绝对值都不为，这样的元子集的个数为               ．  (用数字作为答案)

15. 难度：中等

给出定义：若(其中为整数)，则叫做离实数最近的整数，记作，即. 在此基础上给出下列关于函数的四个命题：①的定义域是R，值域是[0，]；②的图像关于直线对称；

③函数是周期函数，最小正周期是1；④ 函数在上是增函数；

  则其中真命题是             ．                 ．

三、解答题

16. 难度：中等

（本小题满分13分）某高校在2010年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下左图所示.

（1）请先求出频率分布表中①、②位置相应数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图；

（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？

（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A面试的概率？

组号	分组	频数	频率
第1组		5	0.050
第2组		①	0.350
第3组		30	②
第4组		20	0.200
第5组		10	0.100
合计	100	1.00

17. 难度：中等

（本小题满分13分）在一个圆锥体的培养房内培养了40只蜜蜂，准备进行某种实验，过圆锥高的中点有一个不计厚度且平行于圆锥底面的平面把培养房分成两个实验区，其中小锥体叫第一实验区，圆台体叫第二实验区，且两个实验区是互通的。假设蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的。

（1）求蜜蜂落入第二实验区的概率；（2）若其中有10只蜜蜂被染上了红色，求恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率；（3）记为落入第一实验区的蜜蜂数，求随机变量的数学期望。

18. 难度：中等

（本小题满分13分）如图6，正方形所在平面与圆所在平面相交于，

线段为圆的弦，垂直于圆所在平面，

垂足是圆上异于、的点，

，圆的直径为9．

（1）求证：平面平面；

（2）求二面角的平面角的正切值．

19. 难度：中等

（本小题满分13分）某园林公司计划在一块为圆心,半径为5的半圆形（如图）地上种植花草树木，其中弓形区域用于观赏样板地，区域用于种植花木出售，其余区域用于种植草皮出售.已知观赏样板地的成本是每平方米2元，花木的利润是每平方米8元，草皮的利润是每平方米3元.

(1) 设,,分别用,表示弓形的面积;

观赏样板地

 

(2) 园林公司应该怎样规划这块土地,才能使总利润最大?(参考公式:扇形面积公式)  

20. 难度：中等

（本小题满分14分）

如图，设抛物线的准线与轴交于，焦点为；以为焦点，离心率的椭圆与抛物线在轴上方的交点为，延长交抛物线于点，是抛物线上一动点，且M在与之间运动.

（1）当时，求椭圆的方程，

（2）当的边长恰好是三个连续的自然数时，

求面积的最大值．

21. 难度：中等

（本小题满分14分）设函数,的两个极值点为,线段的中点为.

(1) 如果函数为奇函数,求实数的值;当时，求函数图象的对称中心；

(2) 如果点在第四象限,求实数的范围;

(3) 证明:点也在函数的图象上,且为函数图象的对称中心.